LIBRO IV
Prop.6: Nel cerchio dato inscrivere un quadrato
Dimostrazione
Sia dato il cerchio ABCD: nel cerchio ABCD si deve pertanto inscrivere un quadrato.
Si conducano due diametri AC e BD del cerchio ABCD (Prop.3-1) ad angoli retti tra loro (Prop.1-11), e si congiungano AB, BC, CD, DA.
Poiché BE è uguale a ED, E è infatti il centro, ed EA è in comune e ad angoli retti, allora la base AB è uguale alla base AD (Prop.1-4). Per gli stessi motivi ognuna delle rette BC e CD è rispettivamente uguale alle rette AB e AD. Pertanto il quadrilatero ABCD è equilatero.
Dico ora che è anche rettangolo.
Poiché infatti la retta BD è un diametro del cerchio ABCD, allora BAD è un semicerchio; l'angolo BAD è quindi retto (Prop.3-31). Per gli stessi motivi anche ciascuno degli angoli ABC, BCD, CDA è pure retto. Pertanto il quadrilatero ABCD è rettangolo. Ma è stato dimostrato anche equilatero, pertanto è un quadrato ed è stato inscritto nel cerchio ABCD.
Nel cerchio dato risulta quindi inscritto un quadrato ABCD.
La costruzione con GeoGebra:
- Circonferenza: disegna la circonferenza ABCD di centro E
- Retta: disegna la retta AE che interseca la circonferenza in C
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare da E ad AC che interseca la circonferenza in B e D
- Poligono: disegna il quadrato ABCD
La costruzione introdotto in questa proposizione viene utilizzata nel Libro XII.