LIBRO III
Prop.31: In un cerchio, l'angolo nel semicerchio è retto, quello nel segmento maggiore è minore di un retto, quello nel segmento minore maggiore di un retto; e ancora, l'angolo del segmento maggiore è maggiore del segmento minore minore di un retto
Dimostrazione
Sia dato il cerchio ABCD, un suo diametro sia BC e il suo centro E, e siano congiunte BA, AC, AD, DC: dico che l'angolo BAC nel semicerchio BAC è retto, l'angolo ABC nel segmento maggiore del semicerchio ABC è minore di un retto, l'angolo ADC nel segmento minore del semicerchio ADC è maggiore di uno retto.
Si congiunga AE e si conduca oltre BA fino a F.
E poiché BE è uguale a EA, anche l'angolo ABE è uguale all'angolo BAE. Di nuovo, poiché CE è uguale a EA, anche l'angolo ACE è uguale all'angolo CAE (Prop.1-5). L'angolo BAC totale è quindi uguale alla somma dei due angoli ABC e ACB.
Ma l'angolo FAC esterno al triangolo ABC è pure uguale alla somma dei due angoli ABC e ACB (Prop.1-32). Anche l'angolo BAC è quindi uguale all'angolo FAC. entrambi sono quindi retti. Pertanto l'angolo BAC nel semicerchio BAC è retto.
E poiché nel triangolo ABC la somma dei due angoli ABC e BAC è minore di due angoli retti (Prop.1-17), e l'angolo BAC è un angolo retto, l'angolo BAC è minore di un angolo retto. Ed è l'angolo nel segmento ABC maggiore del semicerchio. E poiché ABCD è un quadrilatero in un cerchio, e la somma degli angoli opposti dei quadrilateri nei cerchi è uguale a due angoli retti (Prop.3-22), mentre l'angolo ABC è minore di un retto, allora l'angolo restante ADC è maggiore di un retto. Ed è l'angolo retto nel segmento ADC minore del semicerchio.
Dico anche che l'angolo del segmento maggiore, cioè quello compreso sia dall'arco ABC che dalla retta AC, è maggiore di un angolo retto, e l'angolo del segmento minore, cioè quello compreso dall'arco ADC e dalla retta AC, è minore di un retto.
E ciò è immediatamente manifesto. Poiché infatti l'angolo compreso dalle rette BA e AC è retto, l'angolo compreso dall'arco ABC e dalla retta AC è maggiore di un angolo retto. Di nuovo, poiché l'angolo compreso dalle rette AC e AF è retto, l'angolo compreso dalla retta CA e dall'arco ADC è minore di un angolo retto.
In un cerchio, l'angolo nel semicerchio è quindi retto, quello nel segmento maggiore è minore di un retto, quello nel segmento minore maggiore di un retto; e ancora, l'angolo del segmento maggiore è maggiore del segmento minore minore di un retto.
La costruzione con Geogebra:
- Segmento: disegna il segmento BC
- Punto Medio: traccia il punto medio E di BC
- Circonferenza: disegna la circonferenza ABCD di centro E
- Semiretta: disegna la semiretta BA e prendi su di essa un punto F
- Segmento: disegna le corde AD, DC, AC e il raggio AE
Questa proposizione è utilizzata nella Prop.3-32 e in quasi tutti i restanti Libri.