LIBRO I
Prop. 17: In ogni triangolo la somma di due angoli qualunque è minore di due retti
Dimostrazione
Sia dato un triangolo ABC: dico che la somma di due angoli qualunque del triangolo ABC è minore di due angoli retti.
Si prolunghi BC fino a D (Post.2).
Poiché l'angolo ACD è un angolo esterno del triangolo ABC, allora è maggiore dell'angolo interno ed opposto all'angolo ABC. Si sommi l'angolo ACB ad ognuno. La somma degli angoli ACD e ACB è quindi maggiore della somma degli angoli ABC e BCA (Prop.1-16). Ma la somma degli angoli ACD e ACB è uguale a due retti (Prop.1-13). Analogamente si può dimostrare che anche la somma degli angoli BAC e ACB è minore della somma degli angoli CAB e ABC.
In ogni triangolo la somma di due angoli qualunque è minore di due retti
La costruzione con GeoGebra:
- Triangolo: disegna il triangolo ABC
- Semiretta: disegna la semiretta che prolunga BC
La parte della dimostrazione "... l'angolo ACD ... è maggiore dell'angolo interno e opposto ABC. Si sommi l'angolo ACB ad ognuno. La somma degli angoli ACD e ACB è quindi maggiore della somma degli angoli ABC e BCA" utilizza la proprietà se x > y, aallora x + z > y + z. Questa proprietà non è indicata nelle Nozioni Comuni.
Questa proposizione sarà poi rafforzata, dimostrando che la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a due retti.
Questa proposizione è utilizzata nel Libro III.