LIBRO IV
Prop.5: Intorno al triangolo circoscrivere un cerchio
Dimostrazione
Sia dato il triangolo ABC: intorno al triangolo dato si deve pertanto circoscrivere un cerchio ABC.
Si sechino a metà le rette AB e AC nei punti D ed E (Prop.1-10). Si conducano DE e EF dai punti D ed E ad angoli retti ad AB e AC (Prop.1-11). Si incontrereranno pertanto all'interno del triangolo ABC, o sulla retta BC, o all'esterno del triangolo.
In primo luogo si incontrino all'interno in F.
Si congiungano FB, FC, FA.
Poiché AD è uguale a DB e DF è in comune e ad angoli retti, allora la base AF è uguale alla base FB (Prop.1-4). Analogamente si può dimostrare che anche CF è uguale a AF, così come FB è uguale a FC; le tre rette FA, FB, FC sono quindi uguali tra loro.
Il cerchio tracciato di centro F e raggio una delle rette FA, FB, FC passerà quindi per i restanti punti, e il cerchio risulterà circonscritto al triangolo ABC. Risulti circoscritto come ABC.
Ora DF e EF si incontrino sulla retta BC in F, come nel caso della seconda figura. Si congiunga AF.
Del tutto similmente, si può dimostrare che il punto F è il centro del cerchio circoscritto intorno al triangolo ABC.
DE e EF si incontrino ora all'esterno del triangolo ABC, come nel caso delle terza figura. Si congiungano AF, BF, CF.
E poiché di nuovo, AD è uguale a DB e DF è in comune e ad angoli retti, allora la base AF è uguale alla base BF (Prop.1-4).
Analogamente si può dimostrare che anche CF è uguale a AF, così come BF è uguale a FC. Il cerchio tracciato di centro F e raggio una delle rette FA, FB, FC passa anche per i punti restanti, ed è circoscritto intorno al triangolo ABC.
Un cerchio è stato quindi circoscritto intorno al triangolo dato.
Corollario:
Ed è manifesto che quando il centro del cerchio cade dentro il triangolo, l'angolo BAC, che si trova in un segmento maggiore del semicerchio, è minore di un angolo retto; quando cade sulla retta BC, l'angolo BAC, essendo in un semicerchio, è retto, e quando il centro del cerchio cade fuori dal triangolo, essendo in un segmento minore del semicerchio, è maggiore di un angolo retto.
La costruzione con GeoGebra:
- Poligono: disegna il triangolo ABC
- Punto Medio: traccia il punto medio D di AB e E di CD
- Perpendicolare: disegna le perpendicolari da D e E rispettivamente ai lati AB e CD
- Segmento: disegna i segmenti FA, FB, FC
- Circonferenza: disegna la circonferenza ABC di centro F
Il centro del cerchio circoscritto è detto circocentro. Dalla costruzione qui presentata risulta evidente che tale punto è l'intersezione degli assi dei lati del triangolo ed è un altro dei punti notevoli di un triangolo.