LIBRO IV
Prop.7: Intorno al cerchio dato circoscrivere un quadrato
Dimostrazione
Sia dato il cerchio ABCD: intorno al cerchio ABCD si deve pertanto circoscrivere un quadrato.
Si conducano due diametri AC e BD del cerchio ABCD (Prop.3-1) ad angoli retti tra loro (Prop.1-11), e per i punti A, B, C, D si conducano le rette FG, GH, HK, KF tangenti al cerchio ABCD (Prop.3-16-Cor).
Poiché FG è tangente al cerchio ABCD, ed EA è la congiungente del centro E con il punto di tangenza A, allora gli angoli in A sono retti (Prop.3-18). Per gli stessi motivi anche gli angoli nei punti B, C, D sono retti.
E poiché l'angolo AEB è retto, e anche l'angolo EBG è retto, GH è quindi parallelo ad AC (Prop.1-28). Per gli stessi motivi anche AC è parallelo a FK, così che anche GH è parallelo a FK (Prop.1-30). Analogamente si può dimostrare che ognuna delle rette GF e HK è parallela a BED. Pertanto GK, GC, AK, FB, e BK sono parallelogrami (Prop.1-34); GF è quindi uguale a HK, e GH è uguale a FK.
E poiché AC è uguale a BD, e AC è anche uguale ad ognuna delle rette GH e FK, e BD è uguale ad ognuna delle rette GF e HK (Prop.1-34), il quadrilatero FGHK è quindi equilatero.
Dico ora che è anche rettangolo.
Poiché infatti GBEA è un parallelogrammo, e l'angolo AEB è retto, anche l'angolo AGB è pertanto retto (Prop.1-34). Analogamente si può dimostrare che gli angoli H, K, F sono pure retti. Pertanto FGHK è rettangolo. Ma è stato pure dimostrato equilatero; è quindi un quadrato, ed è stato circoscritto attorno al cerchio ABCD.
Intorno al cerchio dato risulta quindi circoscritto un quadrato.
La costruzione con GeoGebra:
- Circonferenza: disegna la circonferenza ABCD di centro E
- Retta: disegna la retta AE che interseca la circonferenza in C
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare da E ad AC che interseca la circonferenza in B e D
- Tangente: disegna le tangenti alla circonferenza nei punti A, B, C, D
- Poligono: disegna il quadrato ABCD
Questa proposizione viene utilizzata nel Libro XII.