LIBRO X
Prop.25: Il rettangolo contenuto da rette mediali commensurabili solo in potenza è o razionale o mediale
Dimostrazione
Sia il rettangolo AC contenuto dalle rette mediali AB e BC che sono commensurabili solo in potenza: dico che AC è o razionale oppure mediale.
Si descrivano i quadrati AD e BE su AB e BC. Allora ognuno dei quadrati AD e BE è mediale. Si fissi una retta razionale FG. Si applichi il parallelogrammo rettangolo GH a FG uguale ad AD, che produce FH come larghezza, e si applichi il parallelogrammo rettangolare MK a HM uguale ad AC, che produce HK come larghezza, e inoltre si appplichi NL a KN uguale a BE, che produce KL come larghezza. Allora FH, HK, KL sono in linea retta.
Poiché ognuno dei quadrati AD e BE è mediale, e AD è uguale a GH mentre BE è uguale a NL, allora ognuno dei rettangoli GH e NL è pure mediale. Ed essi sono applicati alla retta razionale FG; ognuna delle rette FH e KL è quindi razionale e incommensurabile in lunghezza con FG (Prop.10-22).
E poiché AD è commensurabile con BE, allora GH è commensurabile con NL. Ma GH sta a NL come FH sta a KL, pertanto FH è commensurabile in lunghezza con KL (Prop.10-11). FH e KL sono quindi rette razionali commensurabili in lunghezza, pertanto il rettangolo FH per KL è razionale (Prop.10-19).
E poiché DB è uguale a BA mentre OB è uguale a BC, allora DB sta a BC come AB sta a BO. Ma DB sta a BC come DA sta ad AC, e AB sta a BO come AC sta a CO, pertanto DA sta ad AC come AC sta a CO (Prop.6-1). Ma AD è uguale a GH, AC è uguale MK, e CO è uguale a NL, pertanto GH sta a MK come MK sta a NL (Prop.6-1). FH sta quindi a HK come HK sta a KL (Prop.6-11). Il rettangolo FH per KL è quindi uguale al quadrato su HK (Prop.6-17).
Ma il rettangolo FH per KL è razionale, pertanto anche il quadrato su HK è razionale. HK è quindi razionale. E, se è commensurabile in lunghezza con FG, allora HN è razionale (Prop.10-19), ma, se è incommensurabile in lunghezza con FG, allora KH e HM sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza, e quindi HN è mediale (Prop.10-21).
HN è quindi o razionale oppure mediale. Ma HN è uguale ad AC, pertanto AC è o razionale o mediale.
Il rettangolo contenuto da rette mediali commensurabili solo in potenza è o razionale o mediale.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento AB
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare ad AB per B e su di essa traccia il segmento BC
- Poligono: completa il rettangolo AC
- Poligono regolare: disegna i quadrati di lato AB e BC
- Segmento: disegna il segmento FG
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare a FG per F
- Circonferenza di dato raggio: disegna sulla perpendicolare il segmento FH = ADxAD/FG
- Perpendicolare: disegna le perpendicolari MG e HM
- Poligono: completa il rettangolo FGMH
- Circonferenza di dato raggio: disegna sulla perpendicolare FH il segmento HK = ABxBC/FG
- Poligono: completa il rettangolo HKNM
- Circonferenza di dato raggio: disegna sulla perpendicolare FH il segmento KL = BCxBC/FG
- Poligono: completa il rettangolo NL