LIBRO X

Prop.11: Se quattro grandezze sono in proporzione, e la prima è commensurabile alla seconda, allora anche la terza è commensurabile alla quarta; ma, se la prima è incommensurabile alla seconda, allora anche la terza è incommensurabile alla quarta

Dimostrazione

Siano A, B, C, D quattro grandezze in proporzione, coì che A sta a B come C sta a D, e A sia commensurabile con B: dico che anche C è commensurabile con D.

Poiché A è commensurabile con B, allora A ha con B il rapporto che un numero ha con un numero (Prop.10-5).

Ma A sta a B come C sta a D, quindi anche C ha con D il rapporto che un numero ha con un numero (Prop.5-11). C è quindi commensurabile con D (Prop.10-6).

Sia ora A incommensurabile con B: dico che anche C è incommensurabile con D.

Poiché A è incommensurabile con B, allora A non ha con B il rapporto che un numero ha con un numero (Prop.10-6). Ma A sta a B come C sta a D, neanche C ha quindi con D il rapporto che un numero ha con un numero (Prop.5-11). C è allora incommensurabile con D (Prop.10-6).

Se quindi quattro grandezze sono in proporzione, e la prima è commensurabile alla seconda, allora anche la terza è commensurabile alla quarta; ma, se la prima è incommensurabile alla seconda, allora anche la terza è incommensurabile alla quarta.

La costruzione con GeoGebra:
  • Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
  • Segmento: disegna i tre segmenti A, B, C
  • Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento D = BxC/A

Questa proposizione è utilizzata numerose volte nel Libro X a partire dalla Prop.10-14. Essa stabilisce che date quattro grandezze, \(a,b,c,d\), se \(a:b = c:d\) e inoltre \(a\) è commensurabile con \(b\), allora anche \(c\) lo è con \(d\). Lo stesso dicasi per l'incommensurabilità.

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“Euclide nella scuola di Atene di Raffaello