Elementi di Euclide

Prop.10: Trovare due rette incommensurabili, una solo in lunghezza, e l'altra anche in potenza, con una rretta data

Dimostrazione

Sia A la retta assegnata: si deve pertanto trovare due rette incommensurabili, una solo in lunghezza, e l'altra anche in potenza, con A.

Siano fissati due numeri B, C che non hanno uno rispetto all'altro il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, cioè, che non sono numeri piani simili, e risulti essere che B sta a C come il quadrato su A sta al quadrato su D, lo abbiamo infatti imparato (Prop.10-6-Cor). Il quadrato su A è quindi commensurabile con il quadrato su D (Prop.10-6).

E poiché B non ha con C il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, allora neanche il quadrato su A ha con il quadrato su D il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato; A è quindi incommensurabile in lunghezza con (Prop.10-9).

Si prenda ora un medio proporzionale E tra A e D. Allora A sta a D come il quadrato su A sta al quadrato su E (Def.5-9). Ma A è incommensurabile in lunghezza con D, pertanto anche il quadrato su A è incommensurabile con il quadrato su E. A è quindi incommensurabile in potenza con E.

Con la retta assegnata A risultano quindi trovate due rette incommensurabili D, E, D solo in lunghezza ed E in potenza e chiaramente anche in lunghezza.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
• Segmento: disegna i tre segmenti A, B, C (B e C intesi come numeri)
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento D = sqrt(AxAxC/B)
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento E = sqrt(AxD)

Questa proposizione è la dimostrazione promessa nella Def.10-3. Prendere una linea D cosicché il rapporto tra il quadrato su A e il quadrato su D è proprio quello tra due numeri che non sono come un numero quadrato su un numero quadrato. Prendiamo come esempio il ben noto rapporto tra il lato A di un quadrato e la sua diagonale D. Il apporto tra i quadrati costruiti su di essi è \(1:2\), che non è un rapporto tra due numeri quadrati. D è allora commensurabile in potenza solo con A. (Non in lunghezza, poichè \(\frac{D}{A} = \sqrt{2}\)).