LIBRO X
Lemma: Poiché è stato dimostrato che le rette commensurabili in lunghezza sono sempre commensurabili anche in potenza, mentre quelle commensurabili in potenza non sono sempre commensurabili anche in lunghezza, ma possono ben essere o commensurabili o incommensurabili in lunghezza, è manifesto che, se una certa retta è commensurabile in lunghezza con una data retta razionale, è detta razionale e commensurabile non solo in lunghezza con essa, ma anche in potenza, poiché rette commensurabili in lunghezza sono sempre commensurabili anche in potenza.
Ma se una certa retta è commensurabile in potenza con una data retta razionale, allora, se è anche commensurabile in lunghezza con essa, in questo caso è anche detta razionale e commensurabile con essa sia in lunghezza che in potenza, ma, se di nuovo una certa retta, essendo commensurabile in potenza con una data retta razionale, è incommensurabile in lunghezza con essa, in questo caso è detta anche razionale ma commensurabile solo in potenza.
Prop.19: Il rettangolo contenuto da rette razionali commensurabili in lunghezza è razionale
Dimostrazione
Sia il rettangolo AC contenuto dalle rette razionali AB e BC commensurabili in lunghezza: dico che AC è razionale.
Si descriva il quadrato AD su AB (Prop.1-46). Allora AD è razionale (Def.10-4).
E poiché AB è commensurabile in lunghezza con BC, mentre AB è uguale a BD, allora BD è commensurabile in lunghezza con BC. Ma BD sta a BC come DA sta a AC (Prop.6-1). DA è quindi commensurabile con AC (Prop.10-11).
Ma DA è razionale, pertanto anche AC è razionale (Def.10-4).
Il rettangolo contenuto da rette razionali commensurabili in lunghezza è quindi razionale.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento AB
- Perpendicolare: costruisci il rettangolo di lati AB e BC
- Poligono regolare: disegna quadrato di lato AB
Questa è la prima proposizione che tratta di linee e quadrati razionali. In essa si introduce il prodotto (rettangolo) di due grandezze commensurabili.