LIBRO I
Prop. 38: I triangoli che sono su basi uguali e nelle stesse parallele sono uguali tra loro
Dimostrazione
Siano dati i triangoli ABC e DEF su basi uguali BC, EF e nelle stesse parallele BF, AD: dico che il triangolo ABC è uguale al triangolo DEF.
Si prolunghi AD da una e dall'altra parte fino a G e H (Post1). Si tracci BG per B parallela a CA, e si tracci FH per F parallela a DE (Prop.1-31).
Allora ognuna delle figure GBCA e DEFH è un parallelogrammo, e sono uguali, sono infatti sia su basi uguali BC e EF e tra le stesse parallele BF e GH. (Prop.1-36). Inoltre il triangolo ABC è metà del parallelogrammo GBCA, la diagonale AB lo seca infatti a metà. E il triangolo FED è metà del parallelogrammo DEFH, la diagonale DF lo seca infatti a metà (Prop.34).
Il triangolo ABC è quindi uguale al triangolo DEF.
I triangoli che sono su basi uguali e nelle stesse parallele sono uguali tra loro.
La costruzione con GeoGebra:
- Triangolo: disegna il triangolo ABC
- Semiretta: disegna la semiretta BC
- Parallela: disegna la parallela a BC passante per A
- Punto: traccia il punto D sulla parallela AD e il punto E sulla semiretta BC
- Circonferenza di raggio dato: disegna la circonferenza di centro E e raggio il lato BC, che interseca la semiretta BC in F
- Triangolo: disegna il triangolo DEF
- Parallela: disegna la parallela per C al lato AC, che interseca la retta AD in G e la parallela per F al lato DE, che interseca AD in H
Questa proposizione ha la stessa dimostrazione della precedente. Poiché i parallelogrammi su basi uguali e nelle stesse parallele sono uguali, e i triangoli sono la metà dei parallelogrammi, allora anche i triangoli sono uguali.
Questa proposizione è utilizzata nella Prop.1-40 e Prop.1-42.