LIBRO I
Prop. 40: I triangoli uguali che sono su basi uguali e dalla stessa parte sono anche nelle stesse parallele
Dimostrazione
Siano ABC e CDE triangoli uguali su basi uguali BC, CE e dalla stessa base e dalla stessa parte: dico che sono anche nelle stesse parallele.
Si congiunga A con D: dico che AD è parallela a BE (Post.1).
Se così non fosse, si conduca per il punto A la retta AF parallela a BE, e si congiunga E con F (Prop.1-31).
Il triangolo ABC è quindi uguale al triangolo FCE, sono infatti sia su basi uguali BC e CE sia nelle stesse parallele BE e AF (Prop.1-38). Ma il triangolo ABC è uguale a DCE: anche il triangolo DBE è quindi uguale al triangolo FCE, il maggiore al minore; il che è impossibile: non si dà quindi il caso che AF sia parallela a BE. Analogamente si dimostra che nessun altra retta eccetto AD: AD è quindi parallela a BE.
I triangoli uguali che sono su basi uguali e dalla stessa parte sono anche nelle stesse parallele.
La costruzione con GeoGebra
- Poligono: disegna il triangolo ABC
- Semiretta: disegna la semiretta per B e C
- Parallela: disegna la parallela a BC passante per A
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro C e di raggio BC che interseca ulteriormente in E la semiretta
- Punto: traccia il punto D sulla parallela per A
- Poligono: disegna il triangolo CDE
- Punto: traccia il punto F appartenente al segmento CD
- Segmento: disegna i segmenti AF e FE
Non vi è giustificazione per la scelta del vertice C comune ai due triangoli. Tuttavia, la dimostrazione vale anche nel caso in cui ciò non si verifichi.
Questa proposizione non è più utilizzata.