LIBRO I
Prop. 42: Costruire nell'angolo rettilineo dato un parallelogrammo uguale al triangolo dato
Dimostrazione
Sia dato il triangolo ABC e l'angolo rettilineo D: si deve pertanto costruire nell'angolo rettilineo D un parallelogrammo uguale al triangolo ABC.
Si bisechi BC in E (Prop.1-10), e si congiunga A con E; si costruisca, sulla retta EC e sul punto E su di essa, un angolo CEF uguale all'angolo D (Prop.1-23), e si conduca la retta AG per A parallela a EC, e la parallela CG alla retta EF per C (Prop.1-31). FECH è quindi un parallelogrammo.
E poiché BE è uguale a EC, anche il triangolo ABE è uguale al triangolo AEC, sono infatti sia su basi uguali BE, EC sia nelle stesse parallele BC e AG: Il triangolo ABC è quindi doppio del triangolo AEC (Prop.1-38).
Ed è anche il parallelogrammo FECG doppio del triangolo AEC, infatti ha sia la sua stessa base sia è nelle stesse parallele: il parallelogrammo FECH è quindi uguale al triangolo ABC (Prop.1-41). Ed ha l'angolo CEF uguale a quello dato D.
Risulta costruito nell'angolo CEF, che è uguale a D, un parallelogrammo FECH uguale al triangolo dato ABC.
La costruzione con GeoGebra
- Punto: disegna il punto D
- Semiretta: disegna due semirette di vertice D che formano l'angolo D
- Angolo: segna l'angolo convesso D
- Punto Medio: traccia il punto medio E di BC
- Angolo di Misura Data: disegna l'angolo CEF uguale a D (questo comando sintetizza il trasporto dell'angolo)
- Parallela: disegna la parallela a BC passante per A, che interseca il lato dell'angolo in F
- Parallela: disegna la parallela a EF passante per C che interseca la retta AF in G
- Poligono: disegna il parallelogrammo FEC
Geogebra consente il confronto, anche se numerico, tra i due poligoni con il comando Relazione.
Con questa proposizione Euclide compie il passo successivo nello studio delle superfici, la loro applicazione. Prima di questa, ha mostrato varie situazioni con triangoli o parallelogrammi equivalenti, o quando un triangolo è equivalente alla metà di un parallelogrammo.
Questa costruzione viene utilizzata nelle due proposizoini successive.