LIBRO XIII
Prop.9: Se il lato dell'esagono e quello del decagono inscritti nello stesso cerchio sono sommati, allora la retta totale risulta secata nel rapporto estremo e medio, e il suo segmento maggiore è il lato dell'esagono
Dimostrazione
Sia ABC un cerchio, e delle figure inscritte nel cerchio ABC sia BC il lato di un decagono, e CD quello di un esagono, e siano in linea retta: dico che la retta totale BD è secata nel rapporto estremo e medio, e CD è il suo segmento maggiore.
Si prenda il centro E del cerchio, si congiungano EB, EC, ED, e si conduca oltre BE fino ad A (Prop.3-1). Poiché BC è il lato di un decagono equilatero, allora l'arco ACB è quintuplo dell'arco BC. L'arco AC è quindi quadruplo di CB. Ma l'arco AC sta a CB come l'angolo AEC sta all'angolo CEB. L'angolo AEC è quindi quadruplo dell'angolo CEB (Prop.6-33).
E poiché l'angolo EBC è uguale all'angolo ECB, allora l'angolo AEC è doppio dell'angolo ECB. E poiché la retta EC è uguale a CD, entrambe sono infatti uguali al lato dell'esagono inscritto nel cerchio ABC. Anche l'angolo CED è uguale all'angolo CDE. L'angolo ECB è quindi doppio dell'angolo EDC (Prop.1-5) (Prop.1-32).
Ma l'angolo AEC è stato dimostrato doppio dell'angolo ECB, pertanto l'angolo AEC è quadruplo dell'angolo EDC. E anche l'angolo AEC è stato dimostrato quadruplo dell'angolo BEC, pertanto l'angolo EDC è uguale all'angolo BEC. Ma l'angolo EBD è comune ai due triangoli BEC e BED, pertanto l'angolo restante BED è uguale all'angolo restante ECB. Il triangolo EBD è quindi equiangolo al triangolo EBC (Prop.1-32).
In proporzione quindi DB sta a BE come EB sta a BC (Prop.6-4). Ma EB è uguale a CD. BD sta quindi a DC come DC sta a CB. E BD è maggiore di DC, pertanto anche DC è maggiore di CB. La retta BD risulta quindi secata nel rapporto estremo e medio, e DC è il suo segmento maggiore.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna una retta su cui prendere il segmento BC
- Poligono Regolare: disegna il decagono di lato BC
- Circonferenza per tre punti: disegna la circonferenza circoscritta al decagono
- comando Centro[nome circonferenza]: segna il centro E
- Circonferenza: disegna la circonferenza di centro C e raggio ED che incontra la retta in D
- Segmento: disegna i segmenti CD (lato esagono), BA, BD