Elementi di Euclide

Prop.8: Se in un pentagono equilatero e equiangolo rette sottendono due angoli consecutivi, allora si secano tra loro nel rapporto estremo e medio, e i loro segmenti maggiori sono uguali al lato del pentagono

Dimostrazione

Nel pentagono equilatero e equiangolo ABCDE le rette AC, BE si sechino tra loro nel punto H e sottendano due angoli consecutivi, gli angoli in A, B: dico che ognuna di esse risulta secata nel rapporto estremo e medio nel punto H e i loro segmenti maggiori sono uguali al lato del pentagono.

Si circoscriva il cerchio ABCDE attorno al pentagono ABCDE (Prop.4-14). E poiché le due rette EA, AB sono uguali a due AB, BC, e comprendono angoli uguali, allora la base BE è uguale alla base AC, il triangolo ABE è uguale al triangolo ABC, e gli angoli restanti sono uguali rispettivamente agli angoli restanti, cioè quelli opposti ai lati uguali (Prop.1-4).

L'angolo BAC è quindi uguale all'angolo ABE. L'angolo AHE è quindi doppio dell'angolo BAH (Prop.1-32). Ma anche l'angolo EAC è doppio dell'angolo BAC, poiché anche l'arco EDC è doppio dell'arco CB (Prop.6-33) (Prop.3-28). L'angolo HAE è quindi uguale all'angolo AHE. Così che anche la retta HE è uguale a EA, cioè a AB (Prop.1-6).

E poiché la retta BA è uguale ad AE, allora anche l'angolo ABE è uguale all'angolo AEB (Prop.1-5). Ma l'angolo ABE è stato dimostrato uguale all'angolo BAH, pertanto anche l'angolo BEA è uguale all'angolo BAH, e l'angolo ABE è in comune ai due triangoli ABE, ABH, pertanto l'angolo restante BAE è uguale all'angolo restante AHB. Il triangolo ABE è quindi equiangolo al triangolo ABH (Prop.1-32).

In proporzione, quindi, EB sta a BA come AB sta a BH (Prop.6-4). Ma BA è uguale a EH, pertanto BE sta a EH come EH sta a HB. E BE è maggiore di EH, pertanto anche EH è maggiore di HB (Prop.6-14). BE è stato quindi secato nel rapporto estremo e medio in H, e il segmento maggiore HE è uguale al lato del pentagono.

Del tutto similmente si dimostra che anche AC risulta secato nel rapporto estremo e medio in H, ed il suo segmento maggiore CH è uguale al lato del pentagono.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna una retta su cui prendere il segmento CD, lato del pentagono
• Poligono Regolare: disegna il pentagono ABCDE
• Circonferenza per tre punti: disegna la circonferenza circoscritta
• Segmento: disegna i segmenti AC e BE che si intersecano in H

Questa proposizione mostra l'importanza di dividere una linea nel rapporto estremo - medio.