LIBRO IV
Prop.14: Intorno al pentagono dato, che è sia equilatero che equiangolo, circoscrivere un cerchio
Dimostrazione
Il pentagono dato ABCDE sia equilatero e equiangolo: intorno al pentagono ABCDE si deve pertanto circoscrivere un cerchio.
Si sechino a metà gli angoli BCD e CDE rispettivamente con le rette CF e DF (Prop.1-9). Si congiungano le rette FB, FA, FE dal punto F fino ai punti B, A, E nei quali le rette si incontrano. Del tutto similmente alla precedente proposizione si dimostrerà che anche gli angoli CBA, BAE, AED sono secati a metà rispettivamente dalle rette FB, FA, FE.
E poiché l'angolo BCD è uguale all'angolo CDE, e l'angolo FCD è metà dell'angolo BCD, e l'angolo CDF metà dell'angolo CDE, allora l'angolo FCD è pure uguale all'angolo CDF, così che anche il lato FC è uguale al lato FD (Prop.1-6). Analogamente può essere dimostrato che anche ciascuna delle rette FB, FA, FE sono uguali a ciascuna delle rette FC e FD. Le cinque rette FA, FB, FC, FD, FE sono quindi uguali tra loro.
Il cerchio tracciato di centro F e raggio una delle rette FA, FB, FC, FD, FE passa anche per i restanti punti, e risulta circonscritto. Risulti circoscritto e sia ABCDE.
Intorno al pentagono dato, che è sia equilatero che equiangolo, risulta quindi circoscritto un cerchio.
La costruzione con GeoGebra:
- Poligono regolare: disegna il pentagono ABCDE
- Bisettrice: disegna la bisettrice degli angoli BCD e CDE, che si intersecano in F
- Segmento: congiungi F con tutti i vertici del pentagono
- Compasso: disegna la circonferenza di centro F e raggio FG
La costruzione è utilizzata nel Libro XIII.