LIBRO I
Prop. 9: Secare a metà l'angolo rettilineo dato
Dimostrazione
Sia dato l'angolo rettilineo BAC: si deve pertanto secarlo a metà.
Si prenda un punto arbitrario D su AB. Si sottragga AE da AC uguale a AD (Prop.1-3), e si congiunga DE (Post.1). Si costruisca il triangolo equilatero DEF su DE e si congiunfa AF (Prop.1-1).
Dico che l'angolo BAC è secato a metà dalla retta AF.
Poiché AD è uguale a AE, e AF è in comune, i due lati AD e AF sono quindi uguali rispettivamente ai due lati EA e AF. E la base DF è uguale alla base EF, l'angolo DAF è quindi uguale all'angolo EAF (Def1-20).
L'angolo rettilineo dato BAC risulta quindi secato a metà dalla retta AF..
La costruzione con GeoGebra:
- Punto: traccia il punto A
- Semiretta: traccia due qualsiasi semirette di origine A, per formare l'angolo BAC
- Punto: traccia un punto a caso D sulla semiretta AB
- Circonferenza: disegna la circonferenza di centro A e raggio AD, che interseca la semiretta AC in in E
- Segmento: disegna i segmenti AE, DE
- ripetere la costruzione della Prop.1 per ottenere il triangolo equilatero DEF su DE
- Segmento: disegna il segmento AF
Usando righello e compasso per fare questa costruzione, sono necessari tre cerchi, di cui due per la costruzione del triangolo equilatero come nella Prop.1. Il problema che non venne risolto fu quello di ottenere la trisezione dell'angolo sempre utilizzando solo gli stessi strumenti.
Questa proposizione è utilizzata nella successiva e in altre nei Libri successivi.