LIBRO XIII
Prop.10: Se un pentagono equilatero è inscritto in un cerchio, allora il quadrato sul lato del pentagono è uguale alla somma dei quadrati sui lati dell'esagono e del decagono inscritti nello stesso cerchio
Dimostrazione
Sia ABCDE un cerchio, e nel cerchio ABCDE sia inscritto un pentagono equilatero ABCDE: dico che il quadrato sul lato del pentagono ABCDE è uguale alla somma dei quadrati sul lato dell'esagono e su quello del decagono inscritto nel cerchio ABCDE.
Si prenda il centro F del cerchio (Prop.3-1), si congiunga AF e sia condotta oltre fino al punto G, e si congiunga FB. Si tracci FH da F perpendicolare (Prop.1-12) ad AB e la si conduca oltre fino a K, si congiungano AK e KB, si tracci FL da F perpendicolare ad AK, e la si conduca oltre fino a M, e si congiunga KN.
Poiché l'arco ABCG è uguale all'arco AEDG, e in essi ABC è uguale a AED, allora il restante, l'arco CG, è uguale al restante GD. Ma CD è lato di un pentagono, pertanto CG è lato di un decagono. E poiché FA è uguale a FB, e FH è perpendicolare, allora l'angolo AFK è uguale all'angolo KFB (Prop.1-5) (Prop.1-26).
Così che l'arco AK è uguale a KB. L'arco AB è quindi doppio dell'arco BK (Prop.3-26). La retta AK è quindi lato di un decagono. Per gli stessi motivi AK è doppio di KM. E poiché l'arco AB è doppio dell'arco BK, mentre l'arco CD è uguale all'arco AB, allora anche l'arco CD è doppio dell'arco BK. Ma anche l'arco CD è doppio di CG, pertanto l'arco CG è uguale all'arco BK. Ma BK è doppio di KM, poiché anche KA lo è, pertanto anche CG è doppio di KM.
Ma a dire il vero anche l'arco CB è doppio dell'arco BK, l'arco CB è infatti uguale a BA. L'arco totale GB è quindi doppio di BM, così che l'angolo GFB è doppio dell'angolo BFM (Prop.6-33). Ma l'angolo GFB è doppio dell'angolo FAB, l'angolo FAB è infatti uguale all'angolo ABF. L'angolo BFN è quindi uguale all'angolo FAB. Ma l'angolo ABF è comune ai due triangoli ABF, BFN, pertanto l'angolo restante AFB è uguale all'angolo restante BNF. Il triangolo ABF è quindi equiangolo al triangolo BFN (Prop.1-32).
In proporzione quindi la retta AB sta a BF come FB sta a BN (Prop.6-4). Il rettangolo AB per BN è quindi uguale al quadrato su BF (Prop.6-17). Di nuovo, poiché AL è uguale a LK, mentre LN è in comune e ad angoli retti, allora la base KN è uguale alla base AN. Anche l'angolo LKN è uguale all'angolo LAN (Prop.1-4). Ma l'angolo LAN è uguale all'angolo KBN, peertanto anche l'angolo LKN è uguale all'angolo KBN.
E l'angolo in A è comune ai due triangoli AKB, AKN. L'angolo restante AKB è quindi uguale all'angolo restante KNA (Prop.1-32). Il triangolo KBA è quindi equiangolo al triangolo KNA. In proporzione quindi la retta BA sta ad AK come KA sta ad AN (Prop.6-1). Il rettangolo BA per AN è quindi uguale al quadrato su AK (Prop.6-17).
Ma il rettangolo AB per BN è stato anche dimostrato uguale al quadrato su BF, pertanto la somma del rettangolo AB per BN e del rettangolo BA per AN, cioè il quadrato su BA, è uguale alla somma dei quadrati su BF e AK (Prop.2-2). Ed è BA il lato di un pentagono, BF di un esagono, e AK di un decagono.
Se quindi un pentagono equilatero è inscritto in un cerchio, allora il quadrato sul lato del pentagono è uguale alla somma dei quadrati sui lati dell'esagono e del decagono inscritti nello stesso cerchio.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna una retta su cui prendere il segmento CD
- Poligono Regolare: disegna il pentagono di lato CD
- Circonferenza per tre punti: disegna la circonferenza circoscritta al pentagono
- barra inserisci Centro[nome circonferenza]: segna il centro F
- Segmento: disegna il diametro AG e il segmento FB.
- Perpendicolare: disegna FH perpendicolare ad AB che interseca la circonferenza in K
- Segmento: disegna i segmenti AK e KB.
- Perpendicolare: disegna FL perpendicolare ad AK che interseca la circonferenza in M
- Segmento: disegna il segmento KN