Elementi di Euclide

Prop. 2: Qualora una retta sia secata come capita, il rettangolo compreso dalla retta totale e da uno e dall'altro dei segmenti è uguale al quadrato su quella totale

Dimostrazione

Si sechi come capita la retta AB nel punto C: dico che la somma del rettangolo AB per BC con quello BA per AC è uguale al quadrato su AB.

Si descriva su AB il quadrato ADEB (Prop.1-46), e si conduca per C la parallela CF a una o all'altra delle AD, BE (Prop.1-31).

AE è il quadrato su AB; AF è il rettangolo BA per AC, essendo compreso da DA e AC, e AD è uguale a AB; e CE è il rettangolo AB per BC, per BE uguale a AB (Def2.1).

Pertanto la somma del rettangolo BA per AC e del rettangolo AB per BC è uguale al quadrato su AB.

Qualora una retta sia secata come capita, il rettangolo compreso dalla retta totale e da uno e dall'altro dei segmenti è uguale al quadrato su quella totale.

La costruzione con GeoGebra:

• Segmento: disegna il segmento AB
• Punto: traccia il punto C su AB
• Perpendicolare: disegna la perpendicolare AD alla retta AB e passante per A
• Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro A è raggio AB
• Parallela: disegna la parallela ad AB passante per D
• Parallela: disegna da B e C le parallele alla retta AD che intersecano la parallela ad AB nei punti E, F
• Poligono: disegna il quadrato ABED
• Segmento: disegna il segmento CF

Questa proposizione è un caso particolare della precedente Prop.2-1, anche se Euclide la dimostra direttamente.

Essa non è altro che l'espressione geometrica della proprietà distributiva. Nella notazione algebrica odierna: se y = x + z, allora wy = wx + wz

Anche,

w (x + z) = (wx + wz)

Questa proposizione è applicata nella dimostrazione della proposizione XIII.10 la quale mostra che vale una certa relazione tra i lati di pentagono regolare, di un esasgono regolare, e di un decagono inscritti nello stesso cerchio, cioè, il quadrato del lato del pentagono è uguale alla somma dei quadrati sul lato di un esagono e sul lato di un decagono.