Elementi di Euclide

Prop.84: Ad una retta che produce con un'area mediale una totale mediale si adatta solo una retta che è incommensurabile in potenza con la totale e che con la totale produce la somma dei quadrati su di esse mediale e il doppio del rettangolo da esse compreso mediale e anche incommensurabile con la somma dei quadrati su di esse

Dimostrazione

Sia AB una retta che con una mediale produce il totale mediale, e ad AB si adatti BC. Allora AC e CB sono incommensurabili in potenza che fanno quanto predetto (Prop.10-78): dico che a AB non si adatta un'altra retta che fa quanto predetto.

Se possibile, si adatti BD così che anche AD e DB sono incommensurabili in potenza che fanno i quadrati su AD e DB sommati tra loro mediali, il doppio del rettangolo AD per DB mediale, e anche la somma dei quadrati su AD e DB incommensurabile con il doppio del rettangolo AD per DB.(Prop.10-78).

Sia fissata una retta razionale EF. Si applichi EG, uguale alla somma dei quadrati su AC e CB, a EF che produce EM come larghezza. Si applichi HG, uguale al doppio del rettangolo AC per CB, a EF che produce HM come larghezza. Allora la restante, il quadrato su AB, è uguale a EL. AB è quindi il lato di EL (Prop.2-7).

Di nuovo, si applichi EI, uguale alla somma dei quadrati su AD e DB, a EF che produce EN come larghezza. Ma anche il quadrato su AB è uguale a EL, pertanto la restante, il doppio del rettangolo AD per DB, è uguale a HI (Prop.2-7).

E poiché la somma di AC e CB è mediale e uguale a EG, allora anche EG è mediale. Ed è applicata alla razionale EF che produce EM come larghezza, pertanto EM è razionale e incommensurabile in lunghezza con EF. Di nuovo, poiché il doppio del rettangolo AC per CB è mediale e uguale a HG, allora anche HG è mediale. Ed è applicato alla razionale EF che produce HM come larghezza, pertanto HM è razionale e incommensurabile in lunghezza con EF (Prop.10-22).

E poiché la somma dei quadrati su AC e CB è incommensurabile con il doppio del rettangolo AC per CB, allora anche EG è incommensurabile con HG. Anche EM è quindi incommensurabile in lunghezza con MH (Prop.10-11). Ed entrambe sono razionali, pertanto EM e MH sono rette razionali commensurabili solo in potenza. EH è quindi una apotome, e HM una ad essa applicata (Prop.10-73).

Del tutto similmente si dimostra che pure EH è una apotome e HN una ad essa applicata. Pertanto ad una apotome sono applicate diverse rette razionali che sono commensurabili con i totali soltanto in potenza, il che è impossibile (Prop.10-79).

Ad AB si adatta quindi soltanto una retta che è incommensurabile in potenza con la totale e che con la totale produce la somma dei quadrati su di esse mediale, il doppio del rettangolo da esse compreso mediale e anche incommensurabile con la somma dei quadrati su di esse.

La costruzione con GeoGebra:

• Segmento: disegna i segmenti AB, BC, AD e BD adiacenti
• Segmento: disegna il segmento EF
• Perpendicolare: disegna la perpendicolare ad EF per E
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento EM = (ACxAC+CBxCB)/EF
• Perpendicolare: completa il rettangolo EG
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento HM = (2xACxCB)/EF
• Perpendicolare: completa il rettangolo HG
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento EN = (ADxAD+DBxDB)/EF
• Perpendicolare: completa il rettangolo EI