LIBRO X - Seconda Parte
Prop.73: Se da una retta razionale è sottratta una razionale commensurabile con la totale solo in potenza, allora la restante è irrazionale; sia chiamata apotome
Dimostrazione
Da una razionale AB sia sottratta una esprimibile BC che è commensurabile soltanto in potenza con quella totale: dico che la restante AC è la retta irrazionale chiamata apotome.
Poiché AB è incommensurabile in lunghezza con BC, e AB sta a BC come il quadrato su AB sta al rettangolo AB per BC, allora il quadrato su AB è incommensurabile con il rettangolo AB per BC (Prop.10-11). Ma la somma dei quadrati su AB e BC è commensurabile con il quadrato su AB (Prop.10-15), e il doppio del rettangolo AB per BC è commensurabile con il rettangolo AB per BC (Prop.10-6).
E poiché appunto la somma dei quadrati su AB e BC è uguale al doppio del rettangolo AB per BC insieme con il quadrato su CA, allora anche la somma dei quadrati su AB e BC è incommensurabile con la restante (Prop.10-16), il quadrato su AC.
Ma la somma dei quadrati su AB e BC è razionale, pertanto AC è irrazionale. Sia chiamata apotome.
La costruzione con GeoGebra:
- strumento Segmento: disegna il segmento AB
- strumento Segmento: disegna il segmento CB
Con questa proposizione inizia una serie di teoremi che si possono definire simmetrici di quelli che iniziano con la Prop.10-36. La prima parte riguarda la somma di rette, questa la differenza.