LIBRO I
Prop. 45: Costruire nell'angolo rettilineo dato un parallelogrammo uguale alla figura rettilinea data
Dimostrazione
Siano dati la figura rettilinea ABCD e l'angolo rettilineo E: si deve pertanto costruire nell'angolo dato E, un parallelogrammo uguale alla figura rettilinea data ABCD.
Si congiunga A con B, e si costruisca nell'angolo HKF, uguale a E, un parallelogrammo FH uguale al triangolo ABD (Prop.1-42): e si applichi alla retta GH nell'angolo GHM, uguale a E, un parallelogrammo GM uguale al triangolo DBC (Prop.1-44).
Poiché l'angolo E è uguale a uno e all'altro dei HKF, GHM, anche HKF è quindi uguale a GHM (NC).
Si sommi KHG comune: FKH e KHG sono quindi uguali a KHG, GHM. Ma la somma di FKH e KHG è uguale a due retti: anche la somma di KHG e GHM è quindi uguale a due retti (Prop.1-29)
Pertanto su una certa retta GH e su un punto H su di essa, due rette che sono poste non dalla stessa parte formano insieme angoli consecutivi uguali a due retti: KH è quindi allineato con HM (Prop.1-14); e poiché la retta HG incide sulle parallele KM, FG, gli angoli alterni MHG, HGL sono quindi uguali tra loro (Prop.1-29).
Si sommi HGL comune; MHG, HGL sono quindi uguali a HGF, HGL (NC). Ma la somma di MHG e HGL è uguale a due retti: anche la somma di HGF e HGL è uguale a due retti (Prop.1-29): FG è quindi allineato con HL (Prop.1-14).
E poiché FK è sia uguale che parallela a HG, e pure HG a ML, anche KF è quindi sia uguale sia parallela a ML (Prop.1-34); e le congiungono le rette KM, FL: anche KM, FL sono quindi sia uguali che parallele (Prop.1-30): KLFM è quindi un parallelogrammo (Prop.1-33).
E poiché il triangolo ABD è uguale al parallelogrammo FH, e DBC a GM, la figura rettilinea totale ABCD è quindi uguale al parallelogrammo KFLM totale.
Risulta quindi costruito in un angolo rettilineo FKM, che è ugaule a quello dato E, un parallelogrammo KFLM uguale alla figura rettilinea data ABCD.
La costruzione con GeoGebra
- Retta: disegna le retta AB e su di essa prendi un punto E
- Poligono: disegna il quadrilatero ABCD
- Segmento: disegna la diagonale BD del quadrilatero
- Semiretta: disegna un angolo E
- Retta: disegna la retta passante per un punto G
- Angolo di data Ampiezza: disegna l'angolo di vertice G uguale a E con la retta precedente come primo lato
- Semiretta: completa il secondo lato dell'angolo
- Perpendicolare: costruisci le altezze dei triangoli ABD e BCD con base BD in comune
- Circonferenza di dato raggio: traccia la circonferenza di centro G e raggio metà altezza di BAD, che interseca la retta per G in F
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare a FG per F
- Circonferenza di dato raggio: traccia la circonferenza di centro F e raggio BD, che interseca la perpendicolare in un punto
- Parallela: disegna la parallela passante per il precedente punto a FG che interseca il secondo lato dell'angolo in H; da F manda la parallela a GH che interseca in K.
- Poligono: disegna il parallelogrammo FGHK
- Circonferenza di dato raggio: traccia la circonferenza di centro G e raggio metà dell'altezza di BCD, che interseca, da parte opposta a F la retta FG in L
- Completa il secondo parallelogrammo FKML
Con questa costruzione ogni figura rettilinea può essere applicata ad una retta in un angolo, cioè, si può trasformare in un parallelogrammo con qualunque angolo e con quanlunque lato.
Questa trasformazione è usata nel Libro II.