LIBRO VIII
Prop.1: Se vi sono quanti si voglia numeri in proporzione continua, e gli estremi sono primi tra loro, allora sono minimi i numeri tra quelli che hanno il loro stesso rapporto
Dimostrazione
Siano quanti si voglia numeri A, B, C, D in proporzione continua, e i loro estremi A e D siano primi tra loro: dico che A, B, C, D sono minimi tra quelli che hanno il loro stesso rapporto.
Se infatti no, siano E, F, G, H minori di A, B, C, D, e nel loro stesso rapporto.
E poiché A, B, C, D sono nello stesso rapporto di E, F, G, H, e la molteplicità dei numeri A, B, C, D è uguale alla molteplicità dei numeri E, F, G, H, allora, tramite uguale, A sta a D come E sta a H (Prop.7-14).
Ma A e D sono primi tra loro, e numeri che sono primi tra loro sono anche minimi (Prop.7-21), e i minimi misurano quelli che hanno lo stesso loro rapporto, il maggiore il maggiore e il minore il minore, cioè, l'antecedente l'antecedente e il conseguente il conseguente (Prop.7-20). Pertanto A misura E, il maggiore il minore, il che è impossibile.
Pertanto E, F, G, H, che sono minori di A, B, C, D, non sono nel loro stesso rapporto. A, B, C, D sono quindi i minimi tra quelli che hanno il loro stesso rapporto.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti A e B
- Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento C = BxB/A e il segmento D = CxC/B
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti E, F, G, H minori di A, B, C, D (nella figura i 4/5)
Come già visto nell'introduzione a questo Libro, Euclide non definisce una proporzione continua.
Questa proposizione dice che se i numeri estremi in una proporzione continua sono primi tra loro e hanno un rapporto costante, allora non vi sono altre proporzioni continue con lo stesso rapporto avente numeri inferiori a quelli dati.
Questa proposizione è utilizzata nel Libro IX.