LIBRO VII
Prop.36: Trovare il numero minimo che misura tre numeri dati
Dimostrazione
Siano A, B, C i tre numeri dati: si deve pertanto trovare il numero minimo che li misura.
Si prenda D il numero minimo misurato dai due numeri A e B (Prop.7-34). Allora C o misura D, oppure non lo misura.
In primo luogo, lo misuri. Ma anche A e B misurano D, pertanto A, B, C misurano D.
Dico ora che lo misurano anche come minimo. Se infatti no, A, B, C misurano un certo numero E minore di D. Poiché A, B, C misura E, allora A e B misurano E. Il minimo numero misurato da A e B misura quindi anche E (Prop.7-35). Ma D è il minimo numero misurato da A e B, pertanto D misura E, il maggiore il minore, il che è impossibile. A, B, C non misurano quindi un certo numero minore di D. Pertanto D è il minimo che A, B, C misurano.
Di nuovo, C non misuri ora D. Si prenda E, il minimo numero misurato da C e D (Prop.7-34). Poiché A e B misurano D, e D misura E, allora anche A e B misurano E. Ma anche C misura E, pertanto anche A, B, C misurano E.
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
- Segmento: disegna i segmenti A, B, C
- Circonferenza di raggio dato: disegna il segmento D = AxB
- Segmento: disegna il segmento E
Dico ora che è anche il minimo che misurano. Se infatti no, A, B, C misurano un certo numero FE minore di E. Poiché A, B, C misurano F, allora A e B misurano F. Il numero minimo misurato da A e B misura quindi anche F. Ma D è il minimo numero misurato da A e B, pertanto D misura F. Ma anche C misura F, pertanto D e C misurano F, così che il minimo numero misurato da D e C misura anche F (Prop.7-35).
Ma E è il minimo numero misurato da C e D, pertanto E misura F, il maggiore il minore, il che è impossibile. A, B, C non misurano quindi un certo che è minore di E.
Pertanto E è il minimo che è misurato da A, B, C.
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
- Segmento: disegna i segmenti A, B, C
- Circonferenza di raggio dato: disegna i segmenti D = AxB e E = CxD
- Segmento: disegna il segmento F
IIl minimo comune multiplo di tre numeri, \(mcm(a,b,c)\), può essere ottenuto applicando anche a questa operazione la proprietà associativa
\(mcm(a,b,c) = mcm(a,mcm(b,c))\)
La proposizione è utilizzata nell'ultima proposizione di questo Libro.