LIBRO VII
Prop.35: Se due numeri misurano un certo numero, allora il numero minimo misurato da essi misura anche lo stesso
Dimostrazione
I due numeri A e B misurino un ceto numero CD e sia E il minimo che essi misurano: dico che anche E misura CD.
Se E non misura CD, E, che misurando DF, dia come resto CF minore di se stesso.
E poiché A e B misurano E, ed E misura DF, allora anche A e B misurano DF. Ma essi misurano anche CD totale, pertanto essi misurano anche CF restante che è minore di E, il che è impossibile.
Non si dà quindi il caso che non misuri CD. Pertanto lo misura.
La costruzione con Geogebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
- Segmento: disegna i segmenti A, B, CD, E
- Punto: segna il punto F su CD che lo divide in due segmenti
Supponiamo che \(a\) e \(b\) dividono \(c\); sia \(e\) il loro minimo comune multiplo. Supponiamo ora che \(e\) non divida \(c\). Allora sottraendo ripetutamente \(e\) da \(c\) si otterrà \(c = ke+f\), dove il resto \(f\) è minore di \(e\) mentre \(k\) è un numero dato. Poichè \(a\) e \(b\) dividono entrambi \(c\) ed \(e\), allora dividono anche \(f\) facendo di \(f\) un minimo comune multiplo più piccolo del minimo comune multiplo, ottenendo in tal modo una contraddizione.
La proposizione è utilizzata nel Libro VIII.