LIBRO VI
Prop.7: Se due triangoli hanno un solo angolo uguale a un solo angolo, e intorno ad un altro angolo i lati in proporzione, e i restanti angoli insieme o minori o non minori di un retto, allora i triangoli sono equiangoli e hanno uguali gli angoli intorno a cui sono i lati in proporzione
Dimostrazione
Siano ABC e DEF due triangoli aventi un solo angolo BAC uguale a un solo angolo EDF, e i lati intorno agli angoli ABC e DEF siano in proporzione, così che AB sta a BC come DE sta a EF e entrambi gli angoli restanti su C e F siano minori di un angolo retto: dico che il triangolo ABC è equiangolo al triangolo DEF e l'angolo ABC è uguale all'angolo DEF, e il restante angolo, cioè l'angolo su C, è uguale al restante angolo, quello su F.
Se l'angolo ABC è disuguale all'angolo DEF, allora uno di essi è maggiore. Sia ABC l'angolo maggiore.
Si costruisca l'angolo ABG uguale all'angolo DEF sulla retta AB e sul punto B di essa (Prop.1-23). E poiché l'angolo A è uguale all'angolo D, e l'angolo ABG è uguale all'angolo DEF, l'angolo restante AGB è quindi uguale all'angolo restante DFE (Prop.1-32). Il triangolo ABG è quindi equiangolo al triangolo DEF. AB sta quindi a BG come DE sta a EF (Prop.6-4).
Ma è stato supposto che DE sta a EF come AB sta a BC; AB ha quindi lo stesso rapporto con ognuna delle rette BC e BG (Prop.5-11). BC è quindi uguale a BG (Prop.5-9), così che anche l'angolo su C è uguale all'angolo BGC (Prop.1-5). Ma è stato anche supposto che l'angolo su C è minore di un angolo retto, pertanto anche l'angolo BGC è minore di un retto, così che l'angolo AGB ad esso consecutivo è maggiore di un angolo retto (Prop.1-13).
Ed è stato dimostrato essere uguale all'angolo su F; anche l'angolo su F è quindi maggiore di un retto. Ma è stato supposto minore di un retto, il che è assurdo. L'angolo ABC non è quindi disuguale all'angolo DEF, è pertanto uguale ad esso. Ma anche l'angolo su A è uguale all'angolo su D, quindi l'angolo restante su C è uguale all'angolo restante su F (Prop.1-32).
Il triangolo ABC è quindi equiangolo al triangolo DEF.
Di nuovo entrambi gli angoli su C e F siano supposti non minori di un angolo retto: di nuovo che anche così il triangolo ABC è equiangolo al triangolo DEF.
Con la stessa costruzione, si può analogamente dimostrare che BC è uguale a BG, così che anche l'angolo su C è uguale all'angolo BGC (Prop.1-5). Ma l'angolo su C non è minore di un angolo retto, pertanto nemmeno l'angolo BGC è minore di un retto. Nel triangolo BGC la somma di due angoli non è pertanto minore di due angoli retti (Prop.1-17), il che è impossibile.
Non si dà quindi il caso che l'angolo ABC sia disuguale all'angolo DEF; è quindi uguale. Ma anche l'angolo su A è uguale all'angolo su D, pertanto l'angolo restante su C è uguale all'angolo restante su F (Prop.1-32). Il triangolo ABC è quindi equiangolo al triangolo DEF.
Se quindi due triangoli hanno un solo angolo uguale a un solo angolo, e intorno ad un altro angolo i lati in proporzione, e i restanti angoli insieme o minori o non minori di un retto, allora i triangoli sono equiangoli e hanno uguali gli angoli intorno a cui sono i lati in proporzione.
La costruzione con GeoGebra:
- Poligono: disegna il triangolo ABC
- Punto: traccia il punto E esterno al triangolo
- Parallela: disegna la parallela per E al lato AB
- Angolo di data misura: disegna l'angolo EDF uguale all'angolo BAC
- Semiretta: disegna la semiretta del secondo lato dell'angolo
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro E raggio EF = BCxDE/AB, che interseca la semiretta in F, terzo vertice del triangolo DEF
- Poligono: disegna il triangolo simile DEF
- Punto: traccia un punto G sul lato AC
- Segmento: disegna il segmento BG
Questo è il terzo teorema di similitudine. Due triangoli risultano simili se hanno un angolo uguale e due lati, intorno ad un altro angolo, in proporzione.