LIBRO VI
Prop.20: I poligoni simili si dividono in triangoli sia simili sia in triangoli uguali in molteplicità che omologhi ai totali, e il poligono rispetto al poligono ha rapporto raddoppiato di quello che il lato omologo ha rispetto al lato omologo
Dimostrazione
Siano ABCDE e FGHKL poligoni simili, e sia AB omologo a FG: dico che i poligoni ABCDE e FGHKL si dividono in triangoli simili, e in triangoli uguali in molteplicità e omologhi ai totali, e il poligono ABCDE ha con il poligono FGHKL un rapporto raddoppiato rispetto a quello di AB con FG.
Si congiungano BE, CE, GL, HL.
E poiché il poligpono ABCDE è simile al poligono FGHKL, allora l'angolo BAE è uguale all'angolo GFL, e AB sta a AE come GF sta a FL (Def.6-1). Poiché dunque ABE e FGL sono due triangoli aventi un solo angolo uguale a un solo angolo e i lati intorno agli angoli uguali in proporzione, allora il triangolo ABE è equiangolo al triangolo FGL, così che è anche simile; l'angolo ABE è quindi uguale all'angolo FGL (Prop.6-6 e Prop.6-4).
Ed è anche ABC totale uguale a FGH totale per la similitudine dei poligoni; l'angolo restante EBC è quindi uguale all'angolo LGH.
E poiché i triangoli ABE, FGL sono simili, BE sta a AB come GL sta a GF. Per la similitudine dei poligoni si ha anche che AB sta a BC come FG sta a GH. Quindi, tramite uguale, BE sta a BC come GL sta a GH (Prop.5-22), e i lati intorno agli angoli uguali EBC, LGH sono in proporzione. Il triangolo EBC è quindi equiangolo al triangolo LGH (Prop.6-6), e anche il triangolo EBC è simile al triangolo LGH (Prop.6-4).
Per gli stessi motivi anche il triangolo ECD è simile al triangolo LHK. I poligono simili ABCDE, FGHKL sono quindi stati divisi in triangoli simili, e in triangoli uguali in molteplicità.
Dico che sono anche omologhi rispetto ai totali, cioè, tali che i triangoli sono in proporzione, e ABE, EBC, ECD sono antecedenti, mentre FGL, LGH, LHK sono i loro conseguenti, e che il poligono ABCDE ha con il poligono FGHKL un rapporto raddoppiato di quello dei lati omologhi, cioè AB rispetto a FG.
Si congiungano AC e FH.
Poiché i poligoni sono simili, l'angolo ABC è uguale all'angolo FGH, e AB sta a BC come FG sta a GH, il triangolo ABC è equiangolo al triangolo FGH; l'angolo BAC è quindi uguale all'angolo GFH, e l'angolo BCA all'angolo GHF (Prop.6-6). E poiché l'angolo BAM è uguale all'angolo GFN, e anche l'angolo ABM è uguale all'angolo FGN, allora l'angolo restante AMB è pure uguale all'angolo restante FNG. Il triangolo ABM è quindi equiangolo al triangolo FGN (Prop.1-32).
Analogamente si dimostra che il triangolo BMC è equiangolo al triangolo GNH. In proporzione, quindi, AM sta a MB come FN sta a NG, e BM sta a MC come GN sta a NH. Così che, anche tramite uguale, AM sta a MC come FN sta a NH (Prop.5-22). Ma AM sta a MC come il triangolo ABM sta a MBC, e come AME sta a EMC, stanno infatti tra loro come le loro basi (Prop.6-1). Pertanto anche uno degli antecedenti sta a uno dei conseguenti come tutti gli antecedenti ai conseguenti; il triangolo AMB sta quindi a BMC come ABE sta a CBE (Prop.5-12). Ma AMB sta a BMC come AM sta a MC, pertanto AM sta a MC come il triangolo ABE sta al triangolo EBC.
Per gli stessi motivi anche FN sta a NH come il triangolo FGL sta al triangolo GLH. E AM sta a MC come FN sta a NH; il triangolo ABE sta quindi al triangolo BEC come il triangolo FGL sta al triangolo GLH (Prop.5-11), e, alternando, il triangolo ABE sta al triangolo FGL come il triangolo BEC sta al triangolo GLH (Prop.5-16). Analogamente si dimostra, congiunte BD e GK, che il triangolo BEC sta al triangolo LGH come il triangolo ECD sta al triangolo LHK.
E poiché il triangolo ABE sta al triangolo FGL come EBC sta a LGH, e inoltre come ECD sta a LHK, allora anche uno solo degli antecedenti sta a uno solo dei conseguenti come la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti. Il triangolo ABE sta quindi al triangolo FGL come il poligono ABCDE sta al poligono FGHKL (Prop.5-12).
Ma il triangolo ABE ha con il triangolo FGL un rapporto raddoppiato di quello che il lato omologo AB ha con l'omologo FG, infatti i triangoli simili stanno nel rapporto raddoppiato riseptto ai lati omologhi (Prop.6-19). Il poligono ABCDE ha quindi con il poligono FGHKL un rapporto raddoppiato rispetto a quello del lato AB con l'omologo FG (Prop.5-11).
I poligoni simili si dividono quindi in triangoli sia simili sia in triangoli uguali in molteplicità che omologhi ai totali, e il poligono rispetto al poligono ha rapporto raddoppiato di quello che il lato omologo ha rispetto al lato omologo.
Corollario: Figure rettilinee simili stanno tra loro come il rapporto raddoppiato dei lati omologhi.
La costruzione con GeoGebra:
- Poligono: disegna il poligono ABCDE
- Punto: segna il punto F esterno al poligono
- Parallela: disegna le parallele ad AB e AE passanti per F
- Segmento: disegna il segmento FG, omologo di AB, sulla parallela a AB
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro F e raggio FL = AExFG/AB
- Parallela: disegna le parallele a BC per G e a ED passante per L
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro G e raggio GH = BCxFG/AB
- Parallela: disegna la parallela a CD per H
- Poligono: disegna il poligono FGHKL
- Segmento: disegna le diagonali AC, BE, BD, CE e FH, GL GK, HL
Questa proposizione e il suo corollario sono usati in particolare nei Libri X e XIII.