LIBRO VI
Prop.2: Se una retta è condotta parallela a uno solo dei lati di un triangolo, allora seca i lati del triangolo in proporzione; e, se i lati del triangolo sono secati in proporazione, allora la retta congiungente i punti delle sezioni è parallela al restante lato del triangolo
Dimostrazione
Si conduca DE parallella a BC, uno solo dei lati del triangolo ABC: dico che BD sta a AD come CE sta a AE.
Si congiunga BE e CD.
Il triangolo BDE è quindi uguale al triangolo CDE, sono infatti sulla stessa base DE e nelle stesse parallele DE e BC (Prop.1-37). E ADE è un altro triangolo. E le grandezze uguali alla stessa hanno lo stesso rapporto (Prop.5-7), il triangolo BDE sta quindi al triangolo ADE come il triangolo CDE sta al triangolo ADE.
Ma il triangolo BDE sta a ADE come BD sta a AD, sono infatti sotto la stessa altezza, la perpendicolare condotta da E a AB, essi stanno tra loro come le loro basi (Prop.6-1). Per gli stessi motivi, il triangolo CDE sta a ADE come CE sta a AE. BD sta quindi a AD come CE sta a AE (Prop.5-11).
Ma ora i lati AB e AC del triangolo ABC siano secati in proporzione, così che BD sta a AD come CE sta a AE. Si congiunga DE: dico che DE è parallelo a BC.
Con la stessa costruzione, poiché BD sta a AD come CE sta a AE (Prop.5-1), ma BD sta a AD come il triangolo BDE sta al triangolo ADE, e CE sta a AE come il triangolo CDE sta al triangolo ADE, allora il triangolo BDE sta al triangolo ADE come il triangolo CDE sta al triangolo ADE (Prop.5-11). Ognuno dei triangoli BDE e CDE ha quindi lo stesso rapporto con ADE.
Il triangolo BDE è quindi uguale al triangolo CDE (Prop.5-9), ed essi sono sulla stessa base DE. Ma triangoli uguali che sono sulla stessa base sono anche nelle stesse parallele (Prop.1-39). DE è quindi parallelo a BC.
Se quindi una retta è condotta parallela a uno solo dei lati di un triangolo, allora seca i lati del triangolo in proporzione; e, se i lati del triangolo sono secati in proporzione, allora la retta congiungente i punti delle sezioni è parallela al restante lato del triangolo.
La costruzione con GeoGebra:
- Poligono: disegna il triangolo ABC
- Parallela: disegna la parallela per D al lato BC, che intersecano il lato AC in E
- Segmento: disegna i segmenti DE, DC, E
Questa dimostrazione è una condizione necessaria e sufficiente. Il teorema diretto e inverso sono accomunati.
In questa proposizione si ha un triangolo ABC e una linea DE che congiunge un punto D sul lato AB a un punto E sul lato AC. Essa afferma che
\(BD:AD = CE:AE\) se e solo se DE è parallelo a BC.
Questa proposizione è frequentemente usata nel Libro VI, a partire dalla prossima proposizione.