LIBRO V
Prop.7: Grandezze uguali rispetto alla stessa hanno lo stesso rapporto; e la stessa rispetto a quelle uguali
Dimostrazione
Siano A e B grandezze uguali e C una grandezza arbitraria: dico che entrambe le grandezze A e B hanno lo stesso rapporto con C, e C ha lo stesso rapporto con entrambe le grandezze A e B.
Si prendono gli equimultipli D e E di A e B, e si prenda un multiplo come capita F di C.
Poiché dunque D è equimultiplo di A come E di B, e A è uguale a B, allora D è uguale a E. Ma F è un'altra grandezza arbitraria. Se quindi D eccede F, allora anche E eccede F; se è uguale, è uguale; e se minore, minore. D ed E sono equimultipli di A e B, mentre F è un altro multiplo arbitrario di C, pertanto A sta a C come B sta a C (Def.5-5).
Dico ora che anche C ha lo stesso rapporto con ognuna delle grandezze A e B.
Effettuate infatti le stesse costruzioni, si può analogamente dimostrare che D è uguale a E, e F è una certa altra grandezza. Se pertanto F eccede D, eccede anche E; se uguale, è uguale; e, se minore, è minore. E F è un multiplo di C, mentre D ed E sono altri equimultipli come capita di A e B; pertanto C sta ad A come C sta a B.
Grandezze uguali rispetto alla stessa hanno quindi lo stesso rapporto; e la stessa rispetto a quelle uguali.
Corollario: Da questo è pertanto manifesto che, se certe grandezze sono in proporzione, allora esse sono anche in proporzione inversa
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento A
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di raggio A e centro B,
- Segmento di data lunghezza: disegna i segmenti D = 4A e E = 4B
- Segmento: disegna il segmento C
- Segmento di data lunghezza: disegna il segmento F = 3C
Questa proposizione afferma che se \(a = b\) , allora \(a:c = b:c\), e \(c:a = c:b\) . La sua inversa è introdotta nella Prop.5-9.
Questa è una proprietà fondamentale e viene utilizzata frequentemente quando si fa riferimento ai rapporti. Viene usata alcune volte nel Libro V, frequentemente nel Libro VI e occasionalmente nei Libri successivi.