LIBRO V
Prop.20: Se vi sono tre grandezze e altre uguali ad esse in molteplicità, che prese due a due sono nello stesso rapporto, e se tramite uguale la prima è maggiore della terza, allora la quarta è pure maggiore della sesta; se è uguale, sarà uguale, e, se minore, minore
Dimostrazione
Siano tre grandezze A, B, C, e altre D, E, F ad esse uguali in molteplicità, che prese due a due sono nello stesso rapporto, così che A sta a B come D sta a E, e B sta a C come E sta a F e sia A maggiore di C tramite uguale: dico che D è maggiore di F; se A è uguale a C, è uguale; e, se minore, minore.
Poiché A è maggiore di C, e B una certa altra grandezza, e la maggiore ha rispetto alla stessa un rapporto maggiore della minore, allora A ha con B un rapporto maggiore di C con B (Prop.5-8). Ma A sta a B come D sta a E, e, C sta a B, invertendo, come F sta a E (Prop.5-7-Cor), allora D ha con E un rapporto maggiore di F con E (Prop.5-13).
Ma, delle grandezze che rispetto alla stesso hanno lo stesso rapporto, quella che ha un rapporto maggiore è la maggiore (Prop.5-10), D è quindi maggiore di F. In modo analogo si dimostra che, se A è uguale a C, allora anche D è uguale a F, e se minore, minore.
Se quindi vi sono tre grandezze e altre uguali ad esse in molteplicità, che prese due a due sono nello stesso rapporto, e se tramite uguale la prima è maggiore della terza, allora la quarta è pure maggiore della sesta; se è uguale, sarà uguale, e, se minore, minore.
- Segmento: disegna i segmenti A, B, C, D
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento E = BF/C e il segmento F = CD/A
Questa proposizione serve a preparare la dimostrazione della Prop.5-22.