LIBRO III
Prop.37: Qualora sia preso un certo punto all'esterno di un cerchio, e dal punto incidano sul cerchio due rette, e una di esse sechi il cerchio, l'altra incida, e il rettangolo compreso dalla secante totale e dalla sua parte staccata all'esterno sia tra il punto che l'arco convesso di circonferenza sia uguale al quadrato su quella che incide, quella che incide sarà tangente al cerchio
Dimostrazione
Si prenda infatti all'esterno di un cerchio ABC un certo punto D, e da D incidano sul cerchio ABC due rette DCA, e DB; e DCA sechi il cerchio ABC, DB incida e sia il rettangolo compreso da AD e DC è uguale al quadrato su DB: dico che DB è tangente al cerchio ABC.
Si conduca DE tangente ad ABC (Prop.3-17). Si prenda il centro F del cerchio ABC, e si congiungano FE, FB, FD (Prop.3-1). Allora l'angolo FED è retto (Prop.3-18).
E poiché DE è tangente al cerchio ABC e DCA lo seca, il rettangolo AD per DC è uguale al quadrato su DE (Prop.3-36). Ma il rettangolo AD per BC era pure uguale al quadrato su DB, pertanto il quadrato su DE è uguale al quadrato su DB. DE è quindi uguale a DB. E FE è uguale a FB, i due lati DE e EF sono quindi uguali ai due lati DB e BF (Prop.1-8), e FD è la base comune dei triangoli, l'angolo DEF è quindi uguale all'angolo DBF.
Ma l'angolo DEF è retto, anche l'angolo DBF è quindi retto. E FB prolungata è un diametro, e la retta condotta ad angoli retti al diametro del cerchio, da uno dei suoi estremi, è tangente al cerchio (Prop.3-16-Cor), pertanto DB è tangente al cerchio.
Analogamente si dimostra anche nel caso in cui il centro stia su AC.
Qualora quindi sia preso un certo punto all'esterno di un cerchio, e dal punto incidano sul cerchio due rette, e una di esse sechi il cerchio, l'altra incida, e il rettangolo compreso dalla secante totale e dalla sua parte staccata all'esterno sia tra il punto che l'arco convesso di circonferenza sia uguale al quadrato su quella che incide, quella che incide sarà tangente al cerchio.
La costruzione con Geogebra:
- strumento Circonferenza: disegna la circonferenza ABC di centro F
- strumento Punto: traccia un punto D esterno alla circonferenza
- strumento Tangente: disegna le tangenti DB e DE
- strumento Segmento: disegna la secante DCA, i raggi BF e FE e il segmento DF
Questa proposizione non è utilizzata nel Libro IV.