LIBRO III
Prop.36: Qualora sia preso un certo punto all'esterno di un cerchio, e da esso incidano sul cerchio due rette, e una di esse sechi il cerchio, l'altra sia tangente, il rettangolo compreso dalla secante totale e dalla sua parte staccata all'esterno sia tra il punto che l'arco convesso di circonferenza sarà uguale al quadrato su quella tangente
Dimostrazione
Si prenda infatti all'esterno di un cerchio ABC un certo punto D, e da D incidano sul cerchio ABC due rette DCA, e DB; e DCA sechi il cerchio ABC, DB tangente: dico che il rettangolo compreso da AD e DC è uguale al quadrato su DB.
DCA o è per il centro oppure no. Sia in primo luogo per il centro e sia F il centro del cerchio ABC. Si congiunga FB. L'angolo FBD è allora retto (Prop.3-18).
E poiché AC è stata secata a metà in F, e CD risulta sommata ad essa, il rettangolo AD per DC più il quadrato su FC è uguale al quadrato su FD (Prop.2-6). Ma FC è uguale a FB, il rettangolo AD per DC più il quadrato su FB è allora uguale a FD. E la somma dei quadrati su FB e BD è uguale al quadrato su FD (Prop.1-47); il rettangolo AD per DC più il quadrato su FB è uguale alla somma dei quadrati su FB e BD. Si sottagga da entrambi il quadrato FB. Allora il rettagolo AD per DC restante è uguale al quadrato sulla tangente DB.
Ora DCA non passi per il centro del cerchio ABC. Si prenda il centro E (Prop.3-1), e si conduca EF da E perpendicolare ad AC. Si congiungano EB, EC, ED. L'angolo EBD è quindi retto (Prop.3-18).
E poiché una retta EF per il centro seca ad angoli retti una retta AC non per il centro, allora la seca anche a metà (Prop.3-3); AF è quindi uguale a FC. E poiché la retta AC è stata secata a metà in F e CD è stata sommata ad essa, il rettangolo AD per DC più il quadrato su FC sono uguali al quadrato su FD (Prop.2-6).
Si aggiunga ad entrambi il quadrato FE. Il rettangolo AD per DC più la somma dei quadrati su CF e EF sono quindi uguali alla somma dei quadrati su FD e FE. Ma il quadrato su EC è uguale alla somma dei quadrati su CF e FE, essendo l'angolo EFC retto (Prop.1-47), e il quadrato su ED è uguale alla somma dei quadrati su DF e FE, allora il rettangolo AD per DC più il quadrato su EC sono uguali al quadrato su ED.
E EC è uguale a EB; il rettangolo AD per DC più il quadrato su EB sono quindi uguali al quadrato su ED. Ma la somma dei quadrati su EB e BD è uguale al quadrato su ED, l'angolo EBD è infatti retto (Prop.1-47), allora il rettangolo AD per DC più il quadrato su EB sono uguali alla somma dei quadrati su EB e BD. Si sottagga il quadrato su EB da entrambi. Il rettangolo restante AD per DC è quindi uguale al quadrato su DB.
Qualora quindi sia preso un certo punto all'esterno di un cerchio, e da esso incidano sul cerchio due rette, e una di esse sechi il cerchio, l'altra sia tangente, il rettangolo compreso dalla secante totale e dalla sua parte staccata all'esterno sia tra il punto che l'arco convesso di circonferenza sarà uguale al quadrato su quella tangente.
La costruzione con Geogebra:
- caso rette per il centro
- strumento Circonferenza: disegna la circonferenza ABC di centro F
- strumento Punto: traccia un punto D esterno alla circonferenza
- strumento Tangente: disegna la tangente DB
- strumento Segmento: disegna la secante DCA e il raggio BF
- caso rette non per il centro è assai simile al precedente
Questa proposizione non è utilizzata nella successiva.