Elementi di Euclide

Prop.2: Qualora sulla circonferenza di un cerchio siano presi due punti come capita, la retta congiunta ai punti cadrà all'interno del cerchio

Dimostrazione

Sia dato il cerchio ABC e sulla circonferenza siano presi due punti come capita, A e B, la retta che unisce i due punti cadrà all'interno del cerchio.

Suppongo che non sia possibile, ma che cada all'esterno come AEB. Prendo il centro D del cerchio ABC (Prop.3-1), e si congiunga DA, DB; si conduca poi DFE. Poiché dunque DA è uguale a DB, anche l'angolo DAE è uguale all'angolo DBE (Prop.1-5).

E poiché risulta prolungato in avanti un solo lato del triangolo DAE, l'angolo DEB è maggiore dell'angolo DAE (Prop.1-16); e DAE è uguale a DEB: DBE è quindi maggiore di DBE. E sotto l'angolo maggiore si tende il lato maggiore (Prop.1-19): DB è quindi maggiore di DE. Ma DB è uguale a DF: DF è quindi maggiore di DE, il minore del maggiore, il che è impossibile.

Pertanto la retta congiunta da A fino a B non cade all'esterno del cercho. Analogamente si dimostra che non può cadere nemmeno sulla circonferenza stessa: quindi cade all'interno.

Qualora sulla circonferenza di un cerchio siano presi due punti come capita, la retta congiunta ai punti cadrà all'interno del cerchio.

La costruzione con GeoGebra:

• Punto: traccia tre punti A, B, C non allineati
• Circonferenza per tre punti: disegna la circonferenza ABC
• Segmento: traccia il segmento AB
• Punto medio: segna il punto medio, M, di AB
• Perpendicolare: traccia la perpendicolare ad AB passante per M che interseca la circonferenza in H e K
• Punto medio: segna il punto medio, D, di HK (il centro della crf)
• Punto: traccia il punto E esterno alla circonferenza
• strong> Arco per tre punti: traccia l'arco AEB
• Segmento: disegna i segmenti AB, DB e DF che interseca la circonferenza in F

La figura per questa proposizione presenta una stranezza dovuta alla necessità della dimostrazione, che presuppone, inizialmente, una linea retta esterna congiungente A con B, anche se è impossibile disegnare appunto una retta con tali caratteristiche.