Elementi di Euclide

Prop. 19: In ogni triangolo il lato opposto all'angolo maggiore è maggiore

Dimostrazione

Sia dato un triangolo ABC che ha l'angolo ABC maggiore di BCA: dico che anche il lato AC è maggiore del lato AB.

Se così non fosse, o AC è uguale ad AB oppure minore.

Dunque AC non è uguale a AB: anche l'angolo ABC sarebbe infatti uguale a ACB; e non lo è. Non si dà quindi il caso che AC sia uguale ad AB (Prop.1-5).

Né AC è minore di AB: anche un angolo ABC sarebbe minore dell'angolo ACB, e non lo è. Non si dà quindi il caso che AC sia minore di AB (Prop.1-18).

Ed è stato dimostrato che neanche è uguale. AC è quindi maggiore di AB.

In ogni triangolo quindi il lato opposto all'angolo maggiore è maggiore.

La costruzione con GeoGebra:

• Triangolo: disegna il triangolo ABC con ABC > BCA

Questa proposizione è l'inversa della precedente. Questa verrà migliorata, circa due millenni dopo, dal teorema di Eulero, matematico svizzero del XVIII secolo, che stabilirà l'uguaglianza del rapporto tra ogni lato e il seno del suo angolo opposto; tale rapporto è uguale al diametro della circonferenza circoscritta.

Questa proposizione è utilizzata nelle Prop.1-20, Prop.1-24.