LIBRO XII
Prop.13: Se un cilindro è secato da un piano parallelo ai piani opposti, allora il cilindro sta al cilindro come l'asse rispetto all'asse
Dimostrazione
Un cilindro AD sia secato con un piano GH parallelo ai piani opposti AB, CD. Il piano GH intersechi l'asse nel punto K: dico che il cilindro BG sta al cilindro GD come l'asse EK sta all'asse KF.
Si prolunghi l'asse EF in entrambe le direzioni fino ai punti L e M. Si fissino uguali all'asse EK quanti assi mai si voglia EN, NL uguali a quanti mai si voglia, e quanti mai si voglia FO, OM uguali a FK. Si costruisca il cilindro PW sull'asse LM con i cerchi PQ e VW come basi.
Si prolunghino per i punti N, O piani paralleli ad AB e CD e alle basi del cilindro PW, e si facciano i cerchi RS, TU attorno ai centri N, O. E poiché gli assi LN, NE, EK sono uguali tra loro, allora i cilindri QR, RB, BG stanno tra loro come le loro basi (Prop.12-11).
Ma le basi sono uguali, pertanto anche i cilindri QR, RB, BG sono uguali tra loro. Poiché quindi gli assi LN, NE, EK sono uguali tra loro, e anche i cilindri QR, RB, BG sono uguali tra loro, ed è uguale la molteplicità degli uni alla molteplicità degli altri, allora, quante volte è multiplo l'asse KL dell'ase EK tante volte multiplo è il cilindro QG del cilindro GB.
Per gli stessi motivi, anche quante volte è multiplo l'asse MK dell'asse KF tante volte è multiplo il cilindro WG del cilindro GD.
E se l'asse KL è uguale all'asse KM, allora anche il cilindro QG è uguale al cilindro GW; e l'asse è maggiore dell'asse, allora anche il cilindro è maggiore del cilindro; e se è minore, allora minore. Essendo pertanto quattro grandezze, gli assi EK e KF e i cilindri BG e GD, risultano presi equimultipli dell'asse EK e del cilindro BG, cioè l'asse LK e il cilindro QG, e equimultipli dell'asse KF e del cilindro GD, cioè l'asse KM e il cilindro GW, ed essendo stato dimostrato che, se l'asse KL è in eccesso dell'asse KM, anche il cilindro QG è in eccesso del cilindro GW; se uguale, uguale; e se minore, minore. L'asse EK sta quindi all'asse KF come il cilindro BG sta al cilindro GD (Def.5.5).
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna la retta dei centri
- Segmento: disegna il segmento EF
- Punto: segna il punto K appartenente a EF
- Perpendicolare: disegna le perpendicolari da E, K, F alla retta dei centri
- Segmento: disegna il segmento che rappresenta la semidistanza focale
- Parallela: disegna la parallela dagli estremi del segmento alla retta EF
- Circonferenza di raggio dato: disegna un cerchio di raggio minore della semidistanza focale
- Ellisse: disegna l'ellisse di centro A e quelli di centro F e K
- Segmento: disegna i segmenti EK e KF
- Circonferenza di raggio dato: disegna i segmenti NE e LN uguali a EK e i segmenti FO e OM uguali a KF
- ripeti la costruzione per le ellissi di centro L, N, O, M