LIBRO XI
Prop.6: Se due rette sono ad angoli retti con lo stesso piano, allora le rette sono parallele
Dimostrazione
Due rette AB, CD siano ad angoli retti con il piano di riferimento: dico che AB è parallela a CD.
Incontrino il piano di riferimento nei punti B e D. Si congiunga la retta BD, e si conduca una retta DE ad angoli retti con BD nel piano di riferimento e si prenda DE uguale ad AB; si congiungano BE, AE, AD.
E poiché AB è ad angoli retti con il piano di riferimento, forma angoli retti anche con tutte le rette che la incontrano e sono nel piano di riferimento (Def.11-3). Ma ognuna delle rette BD e BE sono nel piano di riferimento e toccano AB, pertanto ognuno degli angoli ABD e ABE è retto. Per gli stessi motivi anche ognuno degli angoli CDB e CDE è retto.
E poiché AB è uguale a DE, e BD è in comune, allora i due lati AB e BD sono uguali ai due lati ED e DB. Ed essi comprendono un angolo retto, pertanto la base AD è uguale alla base BE (Prop.1-4). E poiché AB è uguale a DE mentre AD è uguale a BE, i due lati AB e BE sono uguali ai due lati ED e DA, e AE è la loro base comune, pertanto l'angolo ABE è uguale all'angolo EDA (Prop.1-8)
Ma l'angolo ABE è retto, pertanto anche l'angolo EDA è retto. ED è quindi ad angoli retti con DA. Ma è ad angoli retti anche con ognuna delle rette BD e DC, pertanto ED è posta ad angoli retti rispetto alle tre rette BD, DA, DC nella loro intersezione. Le tre rette BD, DA, DC sono quindi in un solo piano (Prop.11-5).
Ma in qualsiasi piano si trovano DB e DA, si trova anche AB, ogni triangolo è infatti in un solo piano (Prop.11-2). Le rette AB, BD, DC sono quindi in un solo piano. E ognuno degli angoli ABD e BDC è retto, pertanto AB è parallela a CD (Prop.1-28).
Se due rette sono quindi ad angoli retti con lo stesso piano, allora le rette sono parallele.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna una retta
- Parallela: completa il piano di riferimento
- Segmento: disegna il triangolo BDE nel piano
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare AB al piano
- Parallela: disegna la parallela ad AB per D
- Segmento: disegna i segmenti CD, AB, AD, AE
Questa proposizione è usata nei libri XII e XIII.