LIBRO XI
Prop.2: Se due rette si secano tra loro, allora sono in un solo piano; e ogni triangolo è in un solo piano
Dimostrazione
Due rette AB, CD si sechino tra loro nel punto E: dico che AB, CD sono in un solo piano e che ogni triangolo è in un solo piano.
Si prendano i punti F, G come capita su EC e EB, si congiungano CB e FG, e si traccino oltre FH e GK: dico che il triangolo ECB è in un solo piano.
Se infatti una parte del triangolo ECB, o FHC oppure GBK, è nel piano di riferimento, e la restante in un altro, allora anche una parte di una delle rette EC o EB è nel piano di riferimento, e una parte in un altro. Ma, se la parte FCBG del triangolo ECB è nel piano di riferimento, e la restante in un altro, allora anche una parte di entrambe le rette EC e EB è nel piano di riferimento e una parte in un altro, il che è stato dimostrato assurdo (Prop11-1).
Il triangolo ECB è quindi in un solo piano.
Ma, in qualsiasi parte si trova il triangolo ECB, si trova anche ognuna delle rette EC e EB, e in qualsiasi piano si trova ognuna delle rette EC e EB, si trovano anche AB e CD (Prop11-1). Le rette AB e CD si trovano quindi in un solo piano; e ogni triangolo si trova in un solo piano.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AB e CD che si intersecano in E
- Punto: segna i punti F e G rispettivamente su EC e EB
- Segmento: disegna i segmenti CB e FG
- Punto: segna i punti H e H su CB
- Segmento: disegna i segmenti FH, GK e AD
Questa proposizione afferma che se due rette si tagliano, allra stanno su uno stesso piano e che un triangolo avente come due lati quelle rette giace interamente nello stesso piano. Questo è il nostro postulato del piano che afferma che per tre punti non allineati passa uno e un solo piano.