LIBRO X - Terza Parte
Prop.98: Il quadrato su una apotome prima di una mediale applicata ad una razionale produce come larghezza una apotome seconda
Dimostrazione
Sia AB una apotome prima di una mediale e CD una razionale e a CD sia appplicato CE uguale al quadrato su AB e che produce CF come larghezza: dico che CF è una apotome seconda.
Sia BG adattata a AB. Allora AG e GB sono rette mediali commensurabili soltanto in potenza che comprendono un rettangolo razionale (Prop.10-74). A CD si applichi CH, uguale al quadrato su AG, che produce CK come larghezza, e KL, uguale al quadrato su BG. CL, che produce KM come larghezza.
CL totale è quindi uguale alla somma dei quadrati su AG (Prop.10-15). Anche CL è quindi mediale (Prop.10.23-Cor). Ed è applicato alla retta razionale CD producendo CM come larghezza, pertanto CM è razionale e incommensurabile in lunghezza con CD (Prop.10-22).
E poiché CL è uguale alla somma dei quadrati su AG e GB, dei quali il quadrato su AB è uguale a CE, pertanto il restante, il doppio del rettangolo AG per GB, è uguale a FL (Prop.2-7). Ma il doppio del rettangolo AG per GB è razionale, pertanto FL è razionale. Ed è applicato alla retta razionale FE producendo FM come larghezza, pertanto anche FM è razionale e commensurabile in lunghezza con CD (Prop.10-20).
E poiché la somma dei quadrati su AG e GB, cioè CL, è mediale, mentre il doppio del rettangolo AG per GB, cioè FL, è razionale, allora CL è incommensurabile con FL. Ma CL sta a FL come CM sta a FM (Prop.6-1), pertanto CM è incommensurabile in lunghezza con FM (Prop.10-11). Ed entrambe sono razionali, pertanto CM e MF sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza. CF è quindi una apotome.
Dico ora che è anche seconda.
Si sechi FM a metà in N, e si tracci NO parallelo a CD passante per N. Allora ognuno dei rettangoli FO e LN è uguale al rettangolo AG per GB. E poiché il rettangolo AG per GB è medio proporzionale tra i quadrati su AG e GB, il quadrato su AG è uguale a CH, il rettangolo AG per GB è uguale a NL, e il quadrato su BG è uguale a KL, anche NL è quindi medio proporzionale tra CH e KL. CH sta quindi a NL come NL sta a KL.
Ma CH sta a NL come CK sta a NM (Prop.6-1), e NL sta a KL come NM sta a MK, pertanto CK sta a NM come NM sta a KM (Prop.6-11). Il rettangolo CK per KM è quindi uguale al quadrato su NM, cioè la quarta parte del quadrato su FM (Prop.6-17).
Poiché CM e MF sono rette disuguali, e il rettangolo CK per KM, è uguale alla quarta parte del quadrato su MF e facente difetto di una figura quadrata, risulta applicato alla maggiore CM, e la divide in segmenti commensurabili, allora il quadrato su CM è maggiore del quadrato su MF per il quadrato su una retta commensurabile in lunghezza con CM (Prop.10-17).
E FM, quella che si adatta, è commensurabile in lunghezza con la retta razionale CD fissata, pertanto CF è una apotome seconda
Il quadrato su una apotome prima di una mediale applicata ad una razionale produce come larghezza una apotome seconda.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento AB
- Perpendicolare: traccia una perpendicolare al segmento AB e su di essa traccia il segmento CD
- Perpendicolare: traccia la perpendicolare a CD passante per C
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento CF = ABxAB/CD
- Perpendicolare:completa il rettangolo CE
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento DH = AGxAG/CD
- Perpendicolare:completa il rettangolo CH
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento HL = BGxBG/CD
- Perpendicolare:completa il rettangolo KL
- Punto Medio: segna il punto medio, N, di FM
- Parallela: disegna la parallela a CD passante per un punto N