LIBRO X - Terza Parte
Prop.96: Se un'area è compresa da una retta razionale e da una apotome sesta, allora il lato dell'area è una retta che con un'area mediale produce il totale mediale
Dimostrazione
Sia l'area AB compresa dalla retta razionale AC e dall'apotome sesta AD: dico che il lato dell'area AB è quella che con una mediale produce il totale mediale.
Sia DG adattata a AD. Allora AG e GD sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza, e né l'una né l'altra di esse è commensurabile in lunghezza con la razionale AC fissata, e il quadrato su quella totale AG è maggiore del quadrato su quella che si adatta DG per il quadrato su una retta incommensurabile in lunghezza con se stessa (Def.10-16).
Poiché il quadrato su AG è maggiore del quadraro su GD per il quadrato su una retta incommensurable in lunghezza con se stessa, allora, se è applicato ad AG un parallelogrammo uguale alla quarta parte del qudrato su DG e facente difetto per una figure quadrata, allora la divide in segmenti incommensurabili (Prop.10-18). Si sechi DG a metà in E, e si applichi ad AG un parallelogrammo uguale al quadrato su EG e facente difetto per una figura quadrata, e sia questa il rettangolo AF per FG. Allora AF è incommensurable in lunghezza con FG.
Ma AF sta a FG come AI sta a FK, pertanto AI è incommensurabile con FK (Prop.10-11). Poiché AG e AC sono razionali commensurabili soltanto in potenza, allora AK è mediale. Di nuovo, poiché AC e DG sono razionali e incommensurabili in lunghezza, anche DK è mediale (Prop.10-21). E poiché AG e GD sono commensurabili soltanto in potenza, allora AG è incommensurabile in lunghezza con GD. Ma AG sta a GD come AK sta a KD (Prop.6-1), pertanto AK è incommensurabile con KD (Prop.10-11).
Si costruisca il quadrato LM uguale ad AI, e si sottragga il quadrato NO, uguale a FK, avente un angolo comune con esso, l'angolo LPM. I quadrati LM, NO sono quindi intorno alla stessa diagonale (Prop.6-26). Sia PR la loro diagonale, e si completi la figura. Similmente si dimostra che LN è il lato dell'area AB.
Dico che LN è una retta che produce con un'area mediale un totale mediale.
Poiché AK è stao dimostrato mediale e uguale alla somma dei quadrati su LP e PN, allora la somma dei quadrati su LP e PN è mediale. Di nuovo, poiché DK è stato dimostrato mediale e uguale alla somma dei quadrati su LP e PN, allora la somma dei quadrati su LP e PN è mediale. Di nuovo, poiché DK è stato dimostrato mediale e uguale al doppio del rettangolo LP per PN, allora anche il doppio del rettangolo LP per PN è mediale.
Poiché AK è stato dimostrato incommensurabile con DK, allora anche la somma dei quadrati su LP e PN è incommensurabile con il doppio del rettangolo LP per PN. E poiché AI è incommensurabile con FK, allora anche il quadrato su LP è incommensurabile con il quadrato su PN.
LP e PN sono quindi rette incommensurabili in potenza che fanno la somma dei quadrati su di esse mediale, e il doppio del rettangolo da esse compreso mediale, e inoltre, la somma dei quadrati su di esse incommensurabile con il doppio del rettangolo da esse compreso.
LN è quindi la retta irrazionale chiamata quella che produce con un'area mediale un totale mediale, ed è il lato dell'area AB. Il lato dell'area è quindi una retta che produce con un'area mediale un totale mediale (Prop.10-78).
Il lato dell'area è quindi quello che con una razionale produce il totale mediale.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AD e DG adiacenti
- Perpendicolare: traccia la perpendicolare a AD passante per A e su di essa traccia il segmento AC
- Perpendicolare: completa il rettangolo AB
- Punto Medio: segna il punto medio, E, di DG
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento GF = (AG-sqrt(AGxAG-4xAG*AC+DGxDG)
- Perpendicolare: traccia le perpendicolari ad AG passanti per E e F
- Parallela: disegna la parallela a AG passante per un punto L
- Circonferenza di dato raggio: disegna il lato del quadrato LP = sqrt(AFxAC)
- Poligono Regolare: disegna il quadrato LM
- Circonferenza di dato raggio: disegna il lato del quadrato NP = sqrt(GFxAC)
- Poligono Regolare: disegna il quadrato NO
- Segmento: disegna i segmenti NT, SO
- Angolo: disegna l'angolo concavo UVW