LIBRO X - Terza Parte
Prop.93: Se un'area è compresa da una retta razionale e da una apotome terza, allora il lato dell'area è una apotome seconda di una mediale
Dimostrazione
Sia l'area AB compresa dalla retta razionale AC e dall'apotome terza AD: dico che il lato dell'area AB è apotome seconda di una mediale.
Sia DG adattata a AD. Allora AG e GD sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza, e né una né l'altra delle AG, GD è commensurabile in lunghezza con la razionale AC fissata, mentre il quadrato su AG totale è maggiore del quadrato su quella che si adatta DG per il quadrato su una retta commensurabile con se stessa (Def.10-13).
Poiché il quadrato su AG è maggiore del quadrato su GD per il quadrato su una retta commensurabile con se stessa, allora, se è applicato ad AG un parallelogrammo uguale alla quarta parte del quadrato su GD e facente difetto di una figura quadrata, allora la divide in segmenti commensurabili (Prop.10-17).
Si sechi DG a metà in E, e si applichi ad AG un parallelogrammo uguale al quadrato su EG e facente difetto per una figura quadrata, e sia questa il rettangolo AF per FG. Si traccino EH, FI, GK per i punti E, F, G parallele ad AC. Allora AF e FG sono commensurabili. Anche AI è quindi commensurabile con FK (Prop.10-11).
Poiché AF e FG sono commensurabili in lunghezza, anche AG è allora commensurabile in lunghezza con l'una e l'altra delle rette AF, FG (Prop.10-15). Ma AG è razionale e incommensurabile in lunghezza con AC, di modo che anche AF e FG lo sono (Prop.10-13).
Si costruisca il quadrato LM uguale ad AI, e si sottragga il quadrato NO, uguale a FK, avente un angolo comune con esso, l'angolo LPM. I quadrati LM, NO sono quindi intorno alla stessa diagonale (Prop.6-26). Sia PR la loro diagonale, e si completi la figura. Entrambi i rettangoli AI e FK sono quindi mediali (Prop.10-21).
Di nuovo, poiché DE è commensurabile in lunghezza con EG, anche DG è quindi commensurabile in lunghezza con le rette DE e EG (Prop.10-15). Ma GD è razionale e incommensurabile in lunghezza con AC, pertanto anche l'una e l'altra delle rette DE, EG è razionale e incommensurabile in lunghezza con AC (Prop.10-13). Entrambi i rettangoli DH, EK sono mediali (Prop.10-21).
Poiché AG e GD sono commensurabili soltanto in potenza, allora AG è incommensurabile in lunghezza con GD. Ma AG è commensurabile in lunghezza con AF, e DG con EG, pertanto AF è incommensurabile in lunghezza con EG (Prop.10-13). Ma AF sta a EG come AI sta a EK (Prop.6-1), pertanto AI è incommensurabile con EK (Prop.10-11).
Si costruisca ora il quadrato LM uguale a AI, e si sottragga NO, uguale a FK, che è intorno allo stesso angolo di LM. Allora LM e NO stanno intorno alla stessa diagonale (Prop.6-26). Sia PR la loro diagonale, e si completi la figura.
E poiché il rettangolo AF per FG è uguale al quadrato su EG, allora AF sta a EG come EG sta a FG (Prop.6-17). Ma AF sta a EG come AI sta a EK, e EG sta a FG come EK sta a FK (Prop.6-1), pertanto AI sta a EK come EK sta a FK. EK è quindi medio proporzionale tra AI e FK (Prop.6-11). Ma anche MN è un medio proporzionale tra i quadrati su LM e NO, e AI è uguale a LM, e FK a NO, anche EK è quindi uguale a MN.
Ma MN è uguale a LO, e EK a DH, anche DK totale è quindi uguale allo gnomone UVW e a NO. Ma AK è uguale alla somma di LM e NO, pertanto AB rimanente è uguale a ST, cioè al quadrato su LN. LN è quindi il lato dell'area AB.
Dico ora che LN è una apotome seconda di una mediale.
Poiché AI e FK sono stati dimostrati mediali, e uguali ai quadrati su LP, allora anche entrambi i quadrati su LP e PN sono mediali. L'una e l'altra delle rette LP e PN sono quindi mediali. Poiché AI è commensurabile con FK, anche il quadrato su LP è quindi commensurabile con il quadrato su PN (Prop.10-11).
Di nuovo, poiché AI è stato dimostrato incommensurabile con EK, allora anche LM è incommensurabile con MN, cioè il quadrato su LP con il rettangolo LP per PN, così che anche LP è incommensurabile in lunghezza con PN (Prop.10-11). LP e PN sono quindi rette mediali commensurabili soltanto in potenza.
Dico ora che comprendono anche un rettangolo mediale.
Poiché EK è stato dimostrato mediale, ed uguale al rettangolo LP per PN, allora il rettangolo LP per PN è pure mediale, così che LP e PN sono rette mediali commensurabili soltanto in potenza che comprendono un rettangolo mediale (Prop.10-75). LN è quindi una apotome seconda di una retta mediale, e il suo lato è il lato dell'area AB. Il lato dell'area AB è quindi una apotome seconda di una retta mediale.
Il lato dell'area AB è quindi una apotome seconda di una mediale.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AD e DG adiacenti
- Perpendicolare: traccia la perpendicolare a AD passante per A e su di essa traccia il segmento AC
- Perpendicolare: completa il rettangolo AB
- Punto Medio: segna il punto medio, E, di DG
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento GF = (AG-sqrt(AGxAG-4xAG*AC+DGxDG)
- Perpendicolare: traccia le perpendicolari ad AG passanti per E e F
- Parallela: disegna la parallela a AG passante per un punto L
- Circonferenza di dato raggio: disegna il lato del quadrato LP = sqrt(AFxAC)
- Poligono Regolare: disegna il quadrato LM
- Circonferenza di dato raggio: disegna il lato del quadrato NP = sqrt(GFxAC)
- Poligono Regolare: disegna il quadrato NO
- Segmento: disegna i segmenti NT, SO
- Angolo: disegna l'angolo concavo UVW