LIBRO X - Seconda Parte
Prop.63: Il quadrato sulla retta maggiore applicato ad una retta razionale produce come larghezza una binomiale quarta
Dimostrazione
Sia AB una maggiore che risulti divisa in C, così che AC sia maggiore di CB, e sia fissata una razionale DE, e sia applicato a DE il parallelogrammo DF uguale al quadrato su AB, che produce DG come larghezza: dico che DG è binomiale quarta.
Siano effettuate le stesse costruzioni di prima di questa. Poiché AB è una maggiore divisa in C, allora AC e CB sono incommensurabili in potenza che fanno la somma dei quadrati su di esse razionale, ma il rettangolo da esse compreso mediale (Prop.10-39).
Poiché la somma dei quadrati su AC e CB è razionale, allora DL è razionale. Pertanto anche DM è razionale e incommensurabile in lunghezza con DE (Prop.10-20). Di nuovo, poiché il doppio del rettangolo AC per CB, cioè MF, è mediale, ed è applicato alla razionale ML, allora anche MG è razionale e incommensurabile in lunghezza con DE (Prop.10-22).
Anche DM è quindi incommensurabile con MG (Prop.10-13). DM e MG sono quindi razionali commensurabili soltanto in potenza. DG è quindi binomiale (Prop.10-36).
Va ora dimostrato che è anche binomiale quarta.
Similmente sarà dimostrato che DM è maggiore di MG e che il rettangolo DK per KM è uguale al quadrato su MN. Poiché il quadrato su AC è incommensurabile con il quadrato su CB, allora anche DH è incommensurabile con KL, così che anche DK è incommensurabile con KM (Prop.10-11).
Ma, se vi sono due rette disuguali, e alla maggiore è applicato un parallelogrammo uguale alla quarta parte del quadrato sulla minore ma facente difetto di un quadrato, e se la divide in parti incommensurabili, allora il quadrato sulla maggiore è maggiore del quadrato sulla minore per il quadrato su una retta incommensurabile con la maggiore. E se il quadrato sulla maggiore è maggiore del quadrato sulla minore per il quadrato sulla retta incommensurabile in lunghezza con la maggiore, pertanto il quadrato su DM è maggiore del quadrato su MG per il quadrato su una retta incommensurabile con DM (Prop.10-18).
Ma DM e MG sono razionali commensurabili soltanto in potenza, e DM è commensurabile con la retta razionale fissata DE. DG è quindi una binomiale quarta.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento AB e su di esso il punto C e il segmento DE
- Perpendicolare: disegna le perpendicolari da D e E al lato DE
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento EH = ACxAC/DE
- Perpendicolare: completa il rettangolo DH
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento HL = BCxBC/DE
- Perpendicolare: completa il rettangolo KL
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento MG = 2ACxCB/DE
- Perpendicolare: completa il rettangolo MF
- Punto Medio: traccia il punto medio, N, di MG
- Parallela: disegna il segmento NO parallelo a ML