LIBRO X - Seconda Parte
Prop.61: Il quadrato sulla retta bimediale prima applicato ad una retta razionale produce come larghezza una binomiale seconda
Dimostrazione
Sia data una binediale prima AB che risulti divisa nelle mediali, delle quali AC sia la maggiore, secondo C e sia fissata una razionale DE, e a DE sia applicatoil parallelogrammo DF uguale al quadrato su AB, che produce DG come larghezza: dico che DG è binomiale seconda.
Siano effettuate le stesse costruzioni di prima di questa. E poiché AB è una bimediale prima divisa in C, allora AC e CB sono mediali commensurabili soltanto in potenza, e comprendenti un rettangolo razionale (Prop.10-37), così che anche i quadrati su AC e CB sono mediali (Prop.10-21). DL è quindi mediale.
Ed è stata applicata alla retta razionale DE, pertanto MD è razionale e incommensurabile in lunghezza con DE (Prop-10-22). Di nuovo, poiché il doppio del rettangolo AC per CB è razionale, allora anche MF è razionale. Ed è applicata alla razionale ML, pertanto anche MG è razionale e commensurabile in lunghezza con ML, cioè, DE. DM è quindi incommensurabile in lunghezza con MG (Prop.10-20).
Ed esse sono razionali, pertanto DM e MG sono razionali commensurabili soltanto in potenza. DG è quindi binomiale (Prop.10-36).
Va ora dimostrato che è anche binomiale seconda.
Poiché la somma dei quadrati su AC e CB è maggiore del doppio del rettangolo AC per CB, allora anche DL è maggiore di MF, così che anche DM è maggiore di MG (Prop.6-1). Poiché il quadrato su AC è commensurabile con il quadrato su CB, allora anche DH è commensurabile con KL, così che anche DK è commensurabile con KM (Prop.10-11).
Ma il rettangolo DK per KM è uguale al quadrato su MN, pertanto il quadrato su DM è maggiore del quadrato su MG per il quadrato su una retta commensurabile con DM. E MG è commensurabile in lunghezza con DE (Prop.10-17).
DG è quindi una binomiale seconda.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento AB e su di esso il punto C e il segmento DE
- Perpendicolare: disegna le perpendicolari da D e E al lato DE
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento EH = ACxAC/DE
- Perpendicolare: completa il rettangolo DH
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento HL = BCxBC/DE
- Perpendicolare: completa il rettangolo KL
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento MG = 2ACxCB/DE
- Perpendicolare: completa il rettangolo MF
- Punto Medio: traccia il punto medio, N, di MG
- Parallela: disegna il segmento NO parallelo a ML