LIBRO X
Prop.31: Trovare due mediali commensurabili in potenza soltanto, contenenti un rettangolo razionale, tali che il quadrato sulla maggiore è maggiore del quadrato sulla minore per il quadrato sulla retta commensurabile in lunghezza con la maggiore
Dimostrazione
Siano fissate due rette razionali A, B commensurabili solo in potenza, tali che il quadrato su A, il maggiore, è maggiore del quadrato su B per il quadrato su una retta commensurabile in lunghezza con A (Prop.10-29).
Sia il quadrato su C uguale al rettangolo A per B. Ora il rettangolo A per B è mediale, pertanto anche il quadrato su C è mediale. Anche C è quindi mediale (Prop.10-21).
Sia il rettangolo C per D uguale al quadrato su B.
E il quadrato su B è razionale, pertanto anche il rettangolo C per D è razionale. E poiché A sta a B come il rettangolo A per B sta al quadrato su B, mentre il quadrato su C è uguale al rettangolo A per B, e il rettangolo C per D è uguale al quadrato su B, allora A sta a B come il quadrato su C sta al rettangolo C per D. Ma il quadrato su C sta al rettangolo C per D come C sta a D, pertanto A sta a B come C sta a D.
Ma A è commensurabile con B soltanto in potenza, pertanto anche C è commensurabile con D soltanto in potenza (Prop.10-11). Ma C è mediale, anche D è allora mediale.
Poiché A sta a B come C sta a D, e il quadrato su A è maggiore del quadrato su B per il quadrato su una retta commensurabile con A, allora il quadrato su C è maggiore del quadrato su D per il quadrato su una retta commensurabile con C (Prop.10-14).
Risultano quindi trovate due rette mediali C e D, commensurabili soltanto in potenza che comprendono un rettangolo razionale, e il quadrato su C è maggiore del quadrato su D per il quadrato su una retta commensurabile in lunghezza con C
.Del tutto similmente si può dimostrare che il quadrato su C supera il quadrato su D per il quadrato su una retta incommensurabile con C, quando il quadrato su A è maggiore del quadrato su B per il quadrato su una retta incommensurabile con A (Prop.10-30).
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali individuare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti A, B
- Circonferenza di dato raggio: disegna C = sqrt(AxB); D = BxB/C