Elementi di Euclide

Prop. 4: Qualora una linea retta sia secata a caso, il quadrato sulla retta totale è uguale sia ai quadrati sui segmenti che a due volte il rettangolo compreso dai segmenti

Dimostrazione

Si sechi come capita la retta AB nel punto C: dico che il quadrato su AB è uguale alla somma dei quadrati su AC e CB con il doppio del rettangolo AC per BC.

Si descriva su AB il quadrato ADEB (Prop.1-46); si congiunga B con D, e per C si conduca la parallela CF a una o all'altra delle AD, EB, e per G si conduca la parallela HK all'una o all'altra delle AB, DE (Prop.1-31).

Poiché CF è parallelo ad AD, e BD risulta incidere su di esse, l'angolo esterno CGB è uguale all'angolo interno e opposto ADB (Prop.1-29). Ma l'angolo ADB è uguale all'angolo ABD (Prop.1-5), poiché anche il lato BA è uguale al lato AD, anche l'angolo CGB è, quindi, uguale all'angolo GBC (Prop.1-6), cosicché il lato anche il lato BC è uguale al lato CG.

Ma CB è uguale a GK, e CG a KB: anche GK è quindi uguale a KB (Prop.1-34): CGKB è quindi equilatero. Dico ora che è anche rettangolo.

Poiché CG è parallela a BK, e su di esse incide la retta CB, la somma degli angoli KBC e GCB è due retti (Prop.1-29). Ma KBC è retto: anche BCG è quindi retto, cosicché anche gli angoli opposti CGK e GKB sono pure retti (Prop.1-34). CGKB è quindi rettangolo, e fu anche dimostrato equilatero; è pertanto un quadrato, ed è descritto su CB. Per lo stesso motivo HF è un quadrato, ed è descritto su HG, cioè su AC (Prop.1-34). I quadrati HF e KC sono quindi su AC e CB.

E poiché AG è uguale a GE, e AG è il rettangolo AC per CB, GC è infatti uguale a CB, anche GE è quindi uguale al rettangolo AC per CB. Quindi la somma di AG e GE è uguale al doppio del rettangolo AC per CB (Prop.1-43). E i quadrati HF e CK sono pure quadrati su AC e CB, pertanto la somma delle quattro figure HF, CK, AG, GE è uguale alla somma dei quadrati su AC e CB più il doppio del rettangolo AC per CB. Ma HF, CK, AG, GE come totale è ADEB, che è il quadrato su AB: il quadrato su AB è quindi uguale alla somma dei quadrati su AC e CB più il doppio del rettangolo AC per CB.

Qualora una linea retta sia secata a caso, il quadrato sulla retta totale è uguale sia ai quadrati sui segmenti che a due volte il rettangolo compreso dai segmenti.

Corollario

Da questo è pertanto manifesto che nei quadrati, i parallelogrammi intorno alla diagonale sono quadrati.

La costruzione con GeoGebra:

• Segmento: disegna il segmento AB
• Punto: traccia il punto C su AB
• Poligono regolare: disegna il quadrato ABED su AB (riassume la costruzione del quadrato)
• Segmento: disegna la diagonale BD
• Parallela: disegna la parallela a AD passante per C, che interseca la diagonale in G e il lato DE in F
• Parallela: disegna da G la parallela alla retta AB che interseca il lato AD in H e BE in K
• Poligono: disegna il quadrato HGFD e il quadrato CBKG

Questa proposizione è il classico prodotto notevole, noto come quadrato di una somma:

(x + y)² = x² + y² + 2xy

Questa è una delle proposizioni più usate del Libro 2.