LIBRO I
Prop. 35: Sia i lati che gli angoli opposti dei parallelogrammi sono uguali tra loro, e la diagonale li seca a metà
Dimostrazione
Siano ABCD e EBCF parallelogrammi sulla stessa base BC e nelle stesse parallele AF e BC: dico che ABCD è uguale al parallelogrammo EBCF.
Poiché ABCD è un parallelogrammo, AD è uguale a BC (Prop.34). Per lo stesso motivo anche EF è uguale a BC e pure AD è uguale a EF; e DE è in comune: AE totale è quindi uguale a DF totale (NC).
Ed è anche AB uguale DC (Prop.34): due rette EA, AB sono pertanto rispettivamente uguali a due rette FD, DC; e l'angolo FDC è uguale all'angolo EAB, quello esterno a quello interno (Prop.29): EB come base è quindi uguale a FC come base, e il triangolo EAB sarà uguale al triangolo DFC (Prop.4).
Si sottragga DGE da ognuno: il trapezio restante ABGD restante è quindi uguale al trapezio EGCF restante; si aggiunga il triangolo GBC comune: il parallelogrammo ABCD totale è quindi uguale al parallelogrammo EBCF totale.
I parallelogrammi che sono sulla stessa base e nelle stesse parallele sono uguali tra loro.
La costruzione con GeoGebra:
- Punto: traccia i punti A, B, C non allineati
- Segmento: disegna i segmenti AB e BC
- Parallela: traccia la parallela per C al segmento AB e per A al segmento BC
- Poligono: disegna il parallelogrammo ABCD
- Punto: segna un punto F sulla parallela per A e D
- Segmento: disegna il segmento CF
- Parallela: disegna la parallela per B al segmento CF e indica con E il punto di intersezione
- Segmento: traccia il segmento AF
- Poligono: disegna il parallelogrammo BCFE
Questa dimostrazione considera in modo specifico il caso in cui il punto D si trova tra A ed E, rendendo necessaria la sottrazione del triangolo. Euclide tratta le figure come grandezze aggiungendole e sottraendole tra loro.
Vi possono essere altri casi, come per esempio quando E si trova tra A e D. In questo caso il punto G risulta irrilevante e basta aggiungere al trapezio i triangoli congruenti ABE e DCF per dimostrare l'asserto.
Questa proposizione è utilizzata nelle prossime due.