LIBRO I
Prop. 27: Se una retta che incide su due rette forma gli angoli alterni uguali tra loro, le rette saranno parallele tra loro
Dimostrazione
La retta EF che incide su due rette AB e CD formi gli angoli alterni interni AEF e EFD uguali tra loro: dico che AB è parallela a CD.
Se infatti no, AB e CD se prolungate si incontreranno o dalla parte di B e D oppure da quella di A e C. Siano state prolungate e si incontrino dalla parte di B e D nel punto G.
Nel triangolo GEF, l'angolo esterno AEF è pertanto uguale all'angolo opposto ed interno EFG; il che è impossibile. (Prop.1-16). Non si dà quindi il caso che AB e CD, prolungate, si incontrino dalla parte di B e D. Analogamente si dimostra che non si incontrano neanche dalla parte di A e C.
Ma rette che non si incontrano né da una né dall'altra parte sono parallele. AB è quindi parallela a CD (Def.1-23).
Se quindi una retta che incide su due rette forma gli angoli alterni uguali tra loro, le rette saranno parallele tra loro.
La costruzione con GeoGebra:
- Rette: disegna la retta AB
- Punto: segna un punto F non appartenente ad AB
- Retta: disegna una retta per F che interseca AB nel punto E
- Angolo: segna l'angolo AEF
- Angolo di data Ampiezza: trasporta l'angolo AEF in EFD (scegliere l'opzione "in senso orario")
- Retta: disegna la retta CD, passante per F, che risulta parallela ad AB
- strong> Punto:isegna un punto G interno alla fascia delimitata dalle due parallele
- Segmento: disegna i segmenti BG e DG
Questa proposizione non richiede l'assunzione del quinto postulato. La costruzione di angoli alterni uguali consente quindi di avere rette parallele.
Questa proposizione è utilizzata nella Prop.1-31.