Elementi di Euclide

Prop. 22: Costruire un triangolo da tre rette che sono uguali alle tre rette date: occorre pertanto che due rette sommate in ogni modo sia maggiore della restante

Dimostrazione

Siano date le tre rette A,B,C, e sia la somma in ogni modo di due di esse maggiore della restante, cioè, A sommata a B maggiore di C, A sommata a C maggiore di B, e B sommata a C maggiore di A: si deve pertanto costruire un triangolo dalle rette uguali a A, B e C.

Si fissi una retta DE, limitata secondo D ma illimitata nella direzione di E (Post2). Si prenda DF uguale a A, FG uguale a B, e GH uguale a C (Prop.1-3).

Si tracci il cerchio DKL con centro F e raggio FD. Di nuovo, si tracci il cerchio KLH con centro G e raggio GH. Si congiungano KF e KG (Post3-1): dico che il triangolo KFG è stato costruito da tre rette uguali a A, B, C.

Poiché il punto F è il centro del cerchio DKL, FD è quindi uguale a FK (Def.1-16). Ma FD è uguale ad A, anche KF è quindi uguale ad A (NC). Di nuovo, poiché il punto G è il centro del cerchio LKH, GH è quindi uguale a GK. Ma GH è uguale a C; KG è quindi uguale a C.

E anche FG è uguale a B, le tre rette KF, FG, GK sono quindi uguale alle tre rette A, B, C.

Un triangolo KFG risulta quindi costruito da tre rette KF, FG, GK, che sono uguali alle tre rette date A, B, C.

La costruzione con GeoGebra:

• Segmento: disegna i segmenti A, B, C
• Semiretta: disegna la semiretta DE di origine D
• Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro D e raggio A, che interseca la semiretta in F
• Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro F e raggio B, che interseca la semiretta in G
• Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro G e raggio C, che interseca la semiretta in H
• Circonferenza: disegna le circonferenze di centro F e raggio FD e di centro G e raggio GH, che si intersecano in K e L
• Triangolo: disegna il triangolo KFG, che avrà i lati uguali a A, B, C.

Questa proposizione stabilisce una condizione necessaria per la costruzione di un triangoli, assegnati tre segmenti come lati. La condizione necessaria non viene presa in considerazione da Euclide.

La costruzione in questa proposizione è utilizzata nella successiva.