LIBRO I
Prop. 2: Porre sul punto dato una retta uguale alla retta data
Dimostrazione
Sia dato il punto A e la retta BC: si deve pertanto porre sul punto A una retta uguale alla retta data BC.
Si congiunga la retta AB dal punto A fino al punto B (Post.1), e si costruisca il triangolo equilatero DAB su di essa (Prop.1-1). Si prolunghino le rette AE e BF in linea retta con DA e DB (Post.2). Si tracci il cerchio CGH con centro in B e raggio BC, e poi, si descriva il cerchio GKL con centro D e raggio DG (Post.3).
E poiché il punto B è il centro del cerchio CGH, BC è quindi uguale a BG. Di nuovo, poiché il punto D è il centro del cerchio GKL, DL è quindi uguale a DG (Def.1-15), delle quali DA è uguale a DB, AL restante è quindi uguale al restante BG(NC).
Ma BC è stato dimostrato uguale a BG, ognuna delle rette AL e BC è quindi uguale a BG. E gli uguali allo stesso sono anche uguali tra loro: anche AL è quindi uguale a BC.
Risulta quindi posta sul punto dato A una retta AL uguale alla retta data BC.
La costruzione con GeoGebra:
- Punto: traccia il punto A
- Segmento: disegna il segmento BC
- Segmento: disegna il segmento AB
- costruire su AB il triangolo equilatero ABD, come nella Prop1-1 (le circonferenze sono tratteggiate)
- Semiretta: disegna le semirette AE e DF prolungamenti di DA e DB
- Cerchio: disegna il cerchio di centro B e raggio BC, che interseca la semiretta DF in G
- Cerchio: disegna il cerchio di centro D e raggio DG, che interseca la semiretta DE in L
- Segmento: disegna il segmento AL, che è il trasporto di BC
Questa costruzione rappresenta il cosiddetto trasporto di un segmento, che rende disponibile il cosiddetto compasso collassabile. Il trasporto diretto con riga e compasso è immediatamente realizzabile, ma la procedura non è consentita dagli assiomi introdotti. Infatti è possibile solo tracciare circonferenze e non sollevare il compasso dal foglio con la certezza che si mantenga la stessa apertura.
Questa proposizione è utilizzata nel Libro I nella Prop1-3.