LIBRO IX
Prop.34: Se un numero non è ottenuto né per raddoppiamento a partire da una diade né ha la metà dispari, allora è sia pari volte pari che pari volte dispari
Dimostrazione
Sia un numero A né ottenuto per raddoppiamento da una diade né con la metà dispari: dico che A è sia pari volte pari che pari volte dispari.
Che quindi A è pari volte pari è manifesto, non ha infatti la metà dispari, (Def.7-8): dico ora che è anche pari volte dispari.
Se sechiamo a metà A, e poi la metà della metà, e facciamo questo in successione, perverremo a un certo numero dispari che misura A secondo un numero pari. Se infatti no, perverremo ad una diade, e A sarà ottenuto per raddoppiamento da una diade, il che è contrario a quanto supposto.
Pertanto A è pari volte dispari. Ma è stato dimostrato che è anche pari volte pari. Pertanto A è sia pari volte pari che pari volte dispari.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna il segmento A
Con questa proposizione si completa la serie di teoremi che trattano i numeri pari e dispari.