LIBRO IX
Prop.16: Se due numeri sono primi tra loro, allora il secondo non sta ad un certo altro come il primo al secondo
Dimostrazione
Siano A, B due numeri primi tra loro: dico che B non sta ad un certo altro numero come A sta a B.
Se possibile, sia A sta a B come B sta C.
Ma A e B sono primi tra loro, e i primi sono anche minimi (Prop.7-21), e i numeri minimi misurano le stesse volte quelli che hanno lo stesso rapporto, sia l'antecende l'antecedente e il conseguente il conseguente (Prop.7-22); A misura quindi B come l'antecedente misura l'antecedente.
Ma misura anche se stesso, pertanto A misura A e B che sono primi tra loro, il che è assurdo.
B non sta quindi a C come A sta a B.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti A, B
- Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento C = BxB/A
La proposizione enuncia che: se \(a, b\) sono primi tra loro, allora il rapporto \(a:b\) è ridotto ai minimi termini. La proposizione trova applicazione nella Prop.9-18.