LIBRO VI
Prop.31: Nei triangoli rettangoli la figura descritta sul lato che sottende l'angolo retto è uguale alla somma delle figure simili e similmente descritte sui lati che contengono l'angolo retto
Dimostrazione
Sia ABC il triangolo rettangolo avente l'angolo BAC retto: dico che la figura su BC è uguale alla somma delle figure simili e similmente poste descritte su BA e AC.
Si conduca la perpendicolare AD (Prop.1-12).
Poiché dunque nel triangolo rettangolo ABC, una retta AD è stata condotta dall'angolo retto A perpendicolare alla base BC, allora i triangoli DBA, DAC alla perpendicolare sono simili sia al totale ABC sia tra loro (Prop.6-8).
E poiché ABC è simile a DBA, allora BC sta a BA come BA sta a BD (Def.6-1). E poiché tre rette sono in proporzione, la prima sta alla terza come la figura sulla prima sta alla figura simile e similmente posta descritta sulla seconda (Prop.6-19-Cor). Pertanto BC sta a BD come la figura su BC sta alla figura simile e similmente posta descritta su BA.
Per gli stessi motivi, BC sta a CD come la figura su BC sta a quella su CA, così che BC sta alla somma di BD e DC come la figura su BC sta alla somma delle figure simili e similmente poste descritte su BA e AC (Prop.5-24). Ma BC è uguale alla somma di BD e DC, pertanto la figura su BC è uguale alla somma delle figure simili e similmente poste descritte su BA e AC.
Nei triangoli rettangoli la figura descritta sul lato che sottende l'angolo retto è quindi uguale alla somma delle figure simili e similmente descritte sui lati che contengono l'angolo retto.
La costruzione con GeoGebra sfrutta ancora il legame di questa costruzione con la sezione aurea:
- Segmento: disegna il segmento BC
- Semicirconferenza: disegna la semicirconferenza di diametro BC
- Poligono: disegna il triangolo rettangolo ABC con A sulla semicirconferenza
- Perpendicolare: disegna l'altezza AD
Questa proposizione è una generalizzazione del teorema di Pitagora (Prop.1-47), dove i quadrati vengono sostituiti con figure qualsiasi purché tra loro simili.